Seja D a região delimitada pelas curvas 2y = 4 - x^2 e x + y + 2 = 0. Calcule a área de D

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas: e . A região é delimitada por essas duas curvas, e nosso objetivo é calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e, em seguida, integrar a diferença das funções que representam essas curvas entre esses pontos.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo as equações das curvas de forma a expressar em função de :
  1. A primeira curva:
  2. A segunda curva:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Isso acontece quando os valores de são iguais para o mesmo . Portanto, igualamos as duas expressões de :

Passo 4

Resolvendo a equação para :
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara para a equação :
Então, os pontos de interseção estão em e .

Passo 6

Agora que temos os valores de onde as curvas se intersectam, precisamos determinar qual das curvas está acima da outra nesse intervalo para calcular a área corretamente. Vamos verificar um ponto dentro do intervalo, por exemplo, :
Como nesse ponto, concluímos que a primeira curva está acima da segunda curva no intervalo considerado.

Passo 7

Para encontrar a área da região , vamos integrar a diferença das funções e de a :
Á

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Á
Após simplificar os termos, obtemos o valor exato da área.

Resposta

A área da região é:
Áá

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