Seja
a região delimitada pelas curvas
e
. Calcule a área de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas:
e
. A região
é delimitada por essas duas curvas, e nosso objetivo é calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e, em seguida, integrar a diferença das funções que representam essas curvas entre esses pontos.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo as equações das curvas de forma a expressar
em função de
:
- A primeira curva:
- A segunda curva:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Isso acontece quando os valores de
são iguais para o mesmo
. Portanto, igualamos as duas expressões de
:
Passo 4
Resolvendo a equação para
:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara para a equação
:
Então, os pontos de interseção estão em
e
.
Passo 6
Agora que temos os valores de
onde as curvas se intersectam, precisamos determinar qual das curvas está acima da outra nesse intervalo para calcular a área corretamente. Vamos verificar um ponto dentro do intervalo, por exemplo,
:
Como
nesse ponto, concluímos que a primeira curva
está acima da segunda curva
no intervalo considerado.
Passo 7
Para encontrar a área da região
, vamos integrar a diferença das funções
e
de
a
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Após simplificar os termos, obtemos o valor exato da área.
Resposta
A área da região
é: