Considere o sólido
delimitado pelo parabolóide
, o cilindro
e o plano
. Por meio de coordenadas polares encontre o volume de
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de cálculo de volume. A gente tem um sólido
que está limitado por três superfícies:
- O paraboloide
. - O cilindro
. - O plano
.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Precisamos encontrar os limites de integração e montar a expressão para o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o cilindro
. Podemos reescrever essa equação para facilitar a conversão para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Então, o limite para
vai de
a
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o intervalo de
. Observando a equação
, sabemos que para
ser positivo,
deve ser positivo. Isso acontece quando
está entre
e
. Então,
varia de
a
.
Passo 4
O paraboloide é dado por
. Em coordenadas polares, isso fica:
Então, a função que define o topo do sólido é
e a base é o plano
.
Passo 5
Para calcular o volume usando coordenadas polares, a fórmula é:
Aqui,
,
, e
varia de
a
.
Passo 6
Vamos montar a integral para o volume:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta na integral externa:
Passo 9
A integral de
de
a
pode ser resolvida usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.