Considere o sólido S delimitado pelo parabolóide z = 4 x^2 + 4 y^2, o cilindro x^2 + y^2 = 3y e o plano z = 0. Por meio de coordenadas polares encontre o volume de S

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de cálculo de volume. A gente tem um sólido S que está limitado por três superfícies:
  1. O paraboloide .
  2. O cilindro .
  3. O plano .
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração. Precisamos encontrar os limites de integração e montar a expressão para o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cilindro . Podemos reescrever essa equação para facilitar a conversão para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Então, o limite para r vai de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos determinar o intervalo de theta. Observando a equação , sabemos que para r ser positivo, deve ser positivo. Isso acontece quando theta está entre 0 e pi. Então, theta varia de 0 a pi.

Passo 4

O paraboloide é dado por . Em coordenadas polares, isso fica:
Então, a função que define o topo do sólido é e a base é o plano .

Passo 5

Para calcular o volume usando coordenadas polares, a fórmula é:
Aqui, , , e theta varia de 0 a pi.

Passo 6

Vamos montar a integral para o volume:

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a r:

Passo 8

Substituindo de volta na integral externa:

Passo 9

A integral de de 0 a pi pode ser resolvida usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então:

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido S é unidades cúbicas.

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