Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa encontrar as soluções da equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de como funções mudam, ou seja, envolve cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Temos:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Multiplicando ambos os lados por
, ficamos com:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, igualamos as integrais:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 2:
Como
é apenas uma constante qualquer, podemos chamar de
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Onde
é uma constante real.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante real.