Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo: y y' = x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa encontrar as soluções da equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de como funções mudam, ou seja, envolve cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Temos:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :
Multiplicando ambos os lados por , ficamos com:

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, igualamos as integrais:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 2:
Como é apenas uma constante qualquer, podemos chamar de :

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Onde é uma constante real.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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