Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo: x^2 y^2 y' = 1 + x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as soluções da equação diferencial . Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais ordinárias, especificamente as equações separáveis. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar isolado. A equação dada é:
Dividindo os dois lados por , temos:

Passo 3

Agora, como essa é uma equação separável, podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por e por :

Passo 4

Com as variáveis separadas, estamos prontos para integrar ambos os lados. A integral de em relação a e a integral de em relação a :

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
  • Para o lado esquerdo:
  • Para o lado direito:

Passo 6

Agora, igualamos as duas integrais (nos conformes das constantes de integração):
Onde é uma constante geral.

Passo 7

Vamos resolver para isolando-o:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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