Determine as soluçōes das equaçōes diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as soluções da equação diferencial
. Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais ordinárias, especificamente as equações separáveis. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Dividindo os dois lados por
, temos:
Passo 3
Agora, como essa é uma equação separável, podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos multiplicar ambos os lados por
e por
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, estamos prontos para integrar ambos os lados. A integral de
em relação a
e a integral de
em relação a
:
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
- Para o lado esquerdo:
- Para o lado direito:
Passo 6
Agora, igualamos as duas integrais (nos conformes das constantes de integração):
Onde
é uma constante geral.
Passo 7
Vamos resolver para
isolando-o:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.