Resolva o problema de valor inicial
para uma função arbitrária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que envolve uma função arbitrária . O que precisamos aqui é usar um pouco de teoria sobre equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral e aplicar as condições iniciais dadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem considerar o :
Para resolver isso, a gente cria a equação característica. Substituindo , temos:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula:
Aqui, , , e :
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa com . Como é qualquer função, vamos usar o método da variação dos parâmetros.
A solução particular será:

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplica-se :
Segundo, derivamos para aplicar :
Calculando a derivada e aplicando , encontramos .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
Seja uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de at é
e a de at é
mostre que a transformada de Laplace de at é
(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
(a) Mostre que , pawa .
(b) Mostre que !, pa
© Seja . Mostre que , para .
(d) Usando o fato de que , mostre que .