Resolva o problema de valor inicial
para uma função
arbitrária.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que envolve uma função arbitrária
. O que precisamos aqui é usar um pouco de teoria sobre equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral e aplicar as condições iniciais dadas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, sem considerar o
:
Para resolver isso, a gente cria a equação característica. Substituindo
, temos:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula:
Aqui,
,
, e
:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa com
. Como
é qualquer função, vamos usar o método da variação dos parâmetros.
A solução particular será:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplica-se
:
Segundo, derivamos
para aplicar
:
Calculando a derivada e aplicando
, encontramos
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
limitado por baixo pelo plano
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
Seja
uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de
at é
e a de
at é
mostre que a transformada de Laplace de
at é
(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
(a) Mostre que
, pawa
.
(b) Mostre que !, pa
© Seja . Mostre que
, para
.
(d) Usando o fato de que , mostre que
.
(b) Mostre que
© Seja
(d) Usando o fato de que