Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e e faça um esboço do gráfico:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa:
  1. Determinar as curvas de nível dessa função.
  2. Encontrar as interseções do gráfico dessa função com os planos e .
  3. Fazer um esboço do gráfico.
Isso tudo faz parte da matéria de Multivariable Calculus, mais especificamente do estudo de superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor constante , temos .
Então, temos:
Essa é a equação geral das curvas de nível para a função dada.

Passo 3

Vamos analisar diferentes valores de :
  • Quando :
    Isso representa um hiperboloide de duas folhas aberto ao longo do eixo .
  • Quando :
    Simplificando:
    Ou seja, e . Essas são as duas retas que cruzam na origem.
  • Quando :
    Podemos reescrever como:
    Isso ainda representa um hiperboloide, mas agora aberto ao longo do eixo .
Então, as curvas de nível são hiperbolas que mudam de orientação dependendo do valor de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico da função com os planos e .
Interseção com o plano :
No plano , . Substituindo na função:
Então, a interseção é a parábola:
Isso é uma parábola voltada para baixo no plano .
Interseção com o plano :
No plano , . Substituindo na função:
Então, a interseção é a parábola:
Essa é uma parábola voltada para cima no plano .

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
O gráfico dessa função é uma superfície chamada hiperboloide de duas folhas.
  • As curvas de nível são hiperbolas que abrem ao longo dos eixos ou , dependendo do valor de .
  • Nos planos e , temos as parábolas e , respectivamente.
  • A superfície possui duas “folhas” que se estendem indefinidamente ao longo do eixo .
[Imagine um esboço aqui: duas curvas parabólicas no plano e , com as hiperbolas das curvas de nível formando a estrutura das folhas da superfície.]

Resposta

As curvas de nível da função são hiperbolas que abrem ao longo dos eixos ou dependendo do valor constante. As interseções com os planos e são, respectivamente, as parábolas e . O gráfico da função é um hiperboloide de duas folhas, com essas interseções formando a estrutura da superfície.

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Dê o domínio das seguintes funções reais:
f)
Considere o sólido limitado por baixo pelo plano ; limitado por cima pelo cone e limitado lateralmente pelo cilindro . (a) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas retangulares