Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos yz e
e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa:
- Determinar as curvas de nível dessa função.
- Encontrar as interseções do gráfico dessa função com os planos
e . - Fazer um esboço do gráfico.
Isso tudo faz parte da matéria de Multivariable Calculus, mais especificamente do estudo de superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor constante
, temos
.
Então, temos:
Essa é a equação geral das curvas de nível para a função dada.
Passo 3
Vamos analisar diferentes valores de
:
-
Quando
: Isso representa um hiperboloide de duas folhas aberto ao longo do eixo. -
Quando
: Simplificando:Ou seja,e . Essas são as duas retas que cruzam na origem. -
Quando
: Podemos reescrever como:Isso ainda representa um hiperboloide, mas agora aberto ao longo do eixo.
Então, as curvas de nível são hiperbolas que mudam de orientação dependendo do valor de
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico da função com os planos
e
.
Interseção com o plano
:
No plano ,
. Substituindo na função:
No plano
Então, a interseção é a parábola:
Isso é uma parábola voltada para baixo no plano
.
Interseção com o plano
:
No plano ,
. Substituindo na função:
No plano
Então, a interseção é a parábola:
Essa é uma parábola voltada para cima no plano
.
Passo 5
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
.
O gráfico dessa função é uma superfície chamada hiperboloide de duas folhas.
- As curvas de nível são hiperbolas que abrem ao longo dos eixos
ou , dependendo do valor de . - Nos planos
e , temos as parábolas e , respectivamente. - A superfície possui duas “folhas” que se estendem indefinidamente ao longo do eixo
.
[Imagine um esboço aqui: duas curvas parabólicas no plano
e
, com as hiperbolas das curvas de nível formando a estrutura das folhas da superfície.]
Resposta
As curvas de nível da função
são hiperbolas que abrem ao longo dos eixos
ou
dependendo do valor constante. As interseções com os planos
e
são, respectivamente, as parábolas
e
. O gráfico da função é um hiperboloide de duas folhas, com essas interseções formando a estrutura da superfície.
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Dê o domínio das seguintes funções reais:
f)
f)
Considere o sólido limitado por baixo pelo plano
; limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
. (a) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas retangulares