Considere o sólido limitado por x+y+z=3, x+y-z=3 e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(a) integral(integral(integral d z) d y) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido limitado por duas superfícies: as planos e , além dos planos coordenados (ou seja, , e ). Vamos usar integrais triplas para resolver isso. Para isso, precisamos entender os limites de integração para cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde os dois planos se intersectam. Para isso, igualamos as equações dos planos:
x + y + z = 3 x + y - z = 3
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x + y + z) - (x + y - z) = 3 - 3 2z = 0 z = 0
Então, os dois planos se intersectam quando x + y = 3 . Substituindo em qualquer uma das equações dos planos, temos:
Isso significa que a linha de interseção está no plano e segue a equação .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  1. Para : Como estamos nos planos coordenados, varia de 0 até um máximo onde e também varia de 0 a um valor que depende de .
  2. Para : Em função de , varia de 0 até .
  3. Para : Observando as duas equações dos planos, podemos resolver para :
    • Do plano :
    • Do plano :
    Então, varia de até .

Passo 4

Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
V = integralx=0^3 integraly=0^3 - x integralz = x + y - 3^3 - x - y dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Começamos integrando em relação a integralz = x + y - 3^3 - x - y dz = [ z ]x + y - 3^3 - x - y = (3 - x - y) - (x + y - 3) = 6 - 2x - 2y :
V = integral0^3 integral0^3 - x (6 - 2x - 2y) , dy , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 6

Integrando em relação a integral0^3 - x (6 - 2x - 2y) , dy = [ 6y - 2xy - y^2 ]0^3 - x :
= 6(3 - x) - 2x(3 - x) - (3 - x)^2 - (0 - 0 - 0) = 18 - 6x - 6x + 2x^2 - (9 - 6x + x^2) = 18 - 12x + 2x^2 - 9 + 6x - x^2 = 9 - 6x + x^2
Substituindo os limites:
V = integral0^3 (9 - 6x + x^2) , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 7

Finalmente, integrando em relação a integral0^3 (9 - 6x + x^2) , dx = [ 9x - 3x^2 + 13x^3 ]0^3 :
= 9(3) - 3(3)^2 + 13(3)^3 - (0 - 0 + 0) = 27 - 27 + 9 = 9
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido é 9 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados