Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido limitado por duas superfícies: as planos
e
, além dos planos coordenados (ou seja,
,
e
). Vamos usar integrais triplas para resolver isso. Para isso, precisamos entender os limites de integração para cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde os dois planos se intersectam. Para isso, igualamos as equações dos planos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Então, os dois planos se intersectam quando
. Substituindo
em qualquer uma das equações dos planos, temos:
Isso significa que a linha de interseção está no plano
e segue a equação
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
-
Para
: Como estamos nos planos coordenados, varia de 0 até um máximo onde e também varia de 0 a um valor que depende de . -
Para
: Em função de , varia de 0 até . -
Para
: Observando as duas equações dos planos, podemos resolver para : - Do plano
: - Do plano
:
Então,varia de até . - Do plano
Passo 4
Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Começamos integrando em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Integrando em relação a
:
Substituindo os limites:
Agora, nossa integral fica:
Passo 7
Finalmente, integrando em relação a
:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido é 9 unidades cúbicas.