Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
a) rotação em torno do eixo ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume do sólido que forma quando giramos a área delimitada pela parábola e a reta em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de integrais usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a parábola intercepta a reta . Substituindo na equação da parábola:
Então, os limites de integração para vão de a .

Passo 3

Como a função é simétrica em relação ao eixo , podemos simplificar a conta calculando de a e depois multiplicando o resultado por 2.
A equação da parábola resolvida para fica:

Passo 4

No método dos discos, o volume de um disco infinitesimal é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos integrar de a e multiplicar por 2 para considerar a simetria:

Passo 6

Calculando a integral:
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Verifique se a integral converge ou diverge? Se convergir, calcule seu valor.
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a)
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola e pela reta , nos seguintes casos:
b) rotação em torno do eixo ;