Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola
e pela reta
, nos seguintes casos:
a) rotação em torno do eixo
;
a) rotação em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume do sólido que forma quando giramos a área delimitada pela parábola
e a reta
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de integrais usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a parábola
intercepta a reta
. Substituindo
na equação da parábola:
Então, os limites de integração para
vão de
a
.
Passo 3
Como a função é simétrica em relação ao eixo
, podemos simplificar a conta calculando de
a
e depois multiplicando o resultado por 2.
A equação da parábola resolvida para
fica:
Passo 4
No método dos discos, o volume de um disco infinitesimal é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos integrar de
a
e multiplicar por 2 para considerar a simetria:
Passo 6
Calculando a integral:
Então:
Resposta
O volume do sólido gerado pela rotação é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Verifique se a integral
converge ou diverge? Se convergir, calcule seu valor.
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(a)
(a)
Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área limitada pela parábola
e pela reta
, nos seguintes casos:
b) rotação em torno do eixo ;
b) rotação em torno do eixo