Considere o sólido limitado por
e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido limitado pelas superfícies
,
e pelos planos coordenados (os planos
,
e
). Vamos usar uma integral tripla na ordem
para achar esse volume. Para isso, precisamos entender os limites de integração para cada variável e configurar a integral corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que delimitam o sólido:
Podemos resolver essas equações para encontrar as interseções e, assim, determinar os limites para
.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso nos mostra que as duas superfícies se intersectam no plano
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para
em termos de
e
a partir das equações dadas:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Então, para cada
e
,
vai de
(já que estamos limitados pelos planos coordenados) até
.
No entanto, precisamos verificar onde essas duas superfícies se intersectam para determinar os limites corretos.
Passo 4
Para encontrar os limites de
, vamos considerar que
varia de 0 até
. Além disso,
e
também são limitados pelos planos coordenados, então
e
.
Vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 a -
varia de 0 a -
varia de 0 a 3
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe
, então
. Quando
,
; quando
,
.
A integral fica:
Integrando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de
.
Use a Regra da Cadeia para achar
ou
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(b)
(b)
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(d)
(d)