Considere o sólido limitado por x+y+z=3, x+y-z=3 e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(b) integral(integral(integral d x) d y) d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido limitado pelas superfícies , e pelos planos coordenados (os planos , e ). Vamos usar uma integral tripla na ordem para achar esse volume. Para isso, precisamos entender os limites de integração para cada variável e configurar a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que delimitam o sólido:
  1. (x + y + z) - (x + y - z) = 3 - 3 2z = 0 z = 0
Podemos resolver essas equações para encontrar as interseções e, assim, determinar os limites para .
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso nos mostra que as duas superfícies se intersectam no plano .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para x + y + z = 3 Rightarrow z = 3 - x - y em termos de x + y - z = 3 Rightarrow z = x + y - 3 e a partir das equações dadas:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
Então, para cada e , vai de (já que estamos limitados pelos planos coordenados) até .
No entanto, precisamos verificar onde essas duas superfícies se intersectam para determinar os limites corretos.

Passo 4

Para encontrar os limites de , vamos considerar que varia de 0 até . Além disso, e também são limitados pelos planos coordenados, então e .
Vamos estabelecer os limites de integração:
  1. varia de 0 a
  2. varia de 0 a
  3. varia de 0 a 3

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral tripla com esses limites:
V = integral0^3 integral0^3 - x integral0^3 - x - y dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^3 - x - y dz = [ z ]0^3 - x - y = 3 - x - y :
V = integral0^3 integral0^3 - x (3 - x - y) , dy , dx
Agora, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral0^3 - x (3 - x - y) , dy = integral0^3 - x (3 - x) , dy - integral0^3 - x y , dy :
integral0^3 - x (3 - x) , dy = (3 - x)(3 - x) = (3 - x)^2
Calculando cada parte:
integral0^3 - x y , dy = [ y^22 ]0^3 - x = (3 - x)^22
integral0^3 - x (3 - x - y) , dy = (3 - x)^2 - (3 - x)^22 = (3 - x)^22
Então:
V = integral0^3 (3 - x)^22 , dx
Agora, a integral fica:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a V = 12 integral0^3 (3 - x)^2 , dx :
V = 12 integral3^0 u^2 (-du) = 12 integral0^3 u^2 , du
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe 12 [ u^33 ]0^3 = 12 ( 273 - 0 ) = 12 times 9 = 92 , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:
Integrando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados