Considere o sólido limitado por e os planos coordenado. Calcule o volume do sólido, fazendo:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido limitado pelas superfícies , e pelos planos coordenados (os planos , e ). Vamos usar uma integral tripla na ordem para achar esse volume. Para isso, precisamos entender os limites de integração para cada variável e configurar a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que delimitam o sólido:
Podemos resolver essas equações para encontrar as interseções e, assim, determinar os limites para .
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso nos mostra que as duas superfícies se intersectam no plano .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para em termos de e a partir das equações dadas:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
Então, para cada e , vai de (já que estamos limitados pelos planos coordenados) até .
No entanto, precisamos verificar onde essas duas superfícies se intersectam para determinar os limites corretos.

Passo 4

Para encontrar os limites de , vamos considerar que varia de 0 até . Além disso, e também são limitados pelos planos coordenados, então e .
Vamos estabelecer os limites de integração:
  1. varia de 0 a
  2. varia de 0 a
  3. varia de 0 a 3

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando cada parte:
Então:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a :
Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Deixe , então . Quando , ; quando , .
A integral fica:
Integrando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Esboce o gráfico de .
Use a Regra da Cadeia para achar ou
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(b)
Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:
(d)