Considere o sólido obtido com a rotaçâo da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
Escolha um dos métodos acima para calcular o volume do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo envolvendo o volume de um sólido de revolução. O enunciado pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Vou optar pelo método das cascas cilíndricas porque facilita quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos de interseção das curvas
e
para saber os limites da nossa integral. Vamos resolver o sistema:
Substituindo
na segunda equação:
Assim, as soluções são
e
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Vamos desenhar rapidamente as curvas para visualizar a região:
-
é uma parábola que abre para cima. -
é uma parábola que abre para a direita.
A região limitada por essas curvas vai de
a
.
Passo 4
Agora, aplicando o método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume
é:
Onde:
- Raio é a distância do elemento de área ao eixo de rotação.
- Altura é a diferença entre as funções superiores e inferiores na direção
.
Passo 5
Vamos identificar o raio e a altura:
-
Raio: A reta de rotação é
. Então, o raio para um ponto é a distância entre e , que é . -
Altura: A altura é a diferença entre as funções
na parte superior e inferior. Aqui, (derivada de ) e . Então, a altura é .
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Agora, precisamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 7
A integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Avaliando em
e
:
Em
:
Em
, todos os termos são zero.
Passo 9
Calculando a expressão numericamente:
Então:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.