Considere o sólido obtido com a rotaçâo da região limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2 em torno da reta x = -1.
[1,5] Escolha um dos métodos acima para calcular o volume do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo envolvendo o volume de um sólido de revolução. O enunciado pede para calcular o volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas curvas e em torno da reta . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Vou optar pelo método das cascas cilíndricas porque facilita quando o eixo de rotação é paralelo ao eixo .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos de interseção das curvas e para saber os limites da nossa integral. Vamos resolver o sistema:
Substituindo na segunda equação:
Assim, as soluções são e . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Vamos desenhar rapidamente as curvas para visualizar a região:
  • é uma parábola que abre para cima.
  • é uma parábola que abre para a direita.
A região limitada por essas curvas vai de a .

Passo 4

Agora, aplicando o método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume é:
Onde:
  • Raio é a distância do elemento de área ao eixo de rotação.
  • Altura é a diferença entre as funções superiores e inferiores na direção .

Passo 5

Vamos identificar o raio e a altura:
  • Raio: A reta de rotação é . Então, o raio para um ponto é a distância entre e , que é .
  • Altura: A altura é a diferença entre as funções na parte superior e inferior. Aqui, (derivada de ) e . Então, a altura é .

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
Agora, precisamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 7

A integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Avaliando em e :
Em :
Em , todos os termos são zero.

Passo 9

Calculando a expressão numericamente:
Então:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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