Os métodos x_n = x_{n-1} - (x_{n-1}^5 - 7) / (5 * x_{n-1}^4) e x_n = x_{n-1} - (x_{n-1}^5 - 7) / 12 calculam 7^(1/5). Qual método converge mais rapidamente, considerando x0 = 1.

Passo 1

Então, galera, a gente tem aqui dois métodos diferentes que tentam calcular usando como ponto de partida. O que a gente precisa entender é qual desses métodos chega mais rápido no resultado certo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre métodos de aproximação e como eles “convergem” para a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro método:
Esse método é uma aplicação do método de Newton-Raphson para encontrar raízes de equações. Basicamente, ele usa a derivada da função para ajustar o palpite anterior e chegar mais perto da solução. A vantagem desse método é que ele converge muito rápido quando está perto da raiz, geralmente de forma quadrática, ou seja, o número de dígitos corretos dobra a cada passo.

Passo 3

Agora, vamos ver o segundo método:
Esse método não utiliza a derivada da função. Ele faz uma correção fixa ao palpite anterior, baseado apenas na diferença entre e 7. Por não usar a derivada, esse método geralmente converge de forma linear, o que significa que melhora o palpite, mas não tão rapidamente quanto o Newton-Raphson.

Passo 4

Comparando os dois métodos, o Newton-Raphson (aquele do Passo 2) utiliza mais informação da função (a derivada) para ajustar o palpite, o que faz com que ele chegue mais rápido na solução correta. Já o segundo método é mais simples, mas converge mais devagar porque não aproveita essa informação adicional.

Resposta

O primeiro método ( ) converge mais rapidamente para .

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