Considere o sólido S, do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação z = 4 - x^2, o plano y = 2 - x e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa M(S) do sólido S como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) que é limitado por:
  • O cilindro parabólico
  • O plano
  • Os planos coordenados (ou seja, os planos , e )
Além disso, a densidade em cada ponto desse sólido é dada pela distância do ponto até a origem, que matematicamente é .
Para encontrar a massa , vamos precisar configurar uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas que leva em conta esses limites e a densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável , e .
  • Para : Como estamos no primeiro octante e o plano , varia de 0 a 2 (quando ).
  • Para : Dado um fixo, varia de 0 até .
  • Para : Para cada ponto , varia de 0 até , conforme o cilindro parabólico.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume . A densidade aqui é a distância até a origem, que é .

Passo 4

Juntando tudo, nossa integral tripla vai ter os seguintes limites:
  • de 0 a 2
  • de 0 a
  • de 0 a
E a função densidade será .

Resposta

A massa do sólido pode ser escrita como:

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