Considere o sólido , do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação , o plano e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa do sólido como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos) que é limitado por:
  • O cilindro parabólico
  • O plano
  • Os planos coordenados (ou seja, os planos , e )
Além disso, a densidade em cada ponto desse sólido é dada pela distância do ponto até a origem, que matematicamente é .
Para encontrar a massa , vamos precisar configurar uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas que leva em conta esses limites e a densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável , e .
  • Para : Como estamos no primeiro octante e o plano , varia de 0 a 2 (quando ).
  • Para : Dado um fixo, varia de 0 até .
  • Para : Para cada ponto , varia de 0 até , conforme o cilindro parabólico.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a massa é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume . A densidade aqui é a distância até a origem, que é .

Passo 4

Juntando tudo, nossa integral tripla vai ter os seguintes limites:
  • de 0 a 2
  • de 0 a
  • de 0 a
E a função densidade será .

Resposta

A massa do sólido pode ser escrita como:

Exercícios relacionados

Uma partícula de massa se move sobre uma superfície . Sejam e as coordenadas da partícula no instante .
Estabeleça o vetor aceleração ;
No problema correspondente a você:
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
.
Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Seja a massa de uma região sólida . Escreva (sem calcular) como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.