Considere o sólido
, do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação
, o plano
e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa
do sólido
como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas
Escreva (sem calcular) a massa
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido
no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos) que é limitado por:
- O cilindro parabólico
- O plano
- Os planos coordenados (ou seja, os planos
, e )
Além disso, a densidade em cada ponto desse sólido é dada pela distância do ponto até a origem, que matematicamente é
.
Para encontrar a massa
, vamos precisar configurar uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas que leva em conta esses limites e a densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável
,
e
.
-
Para
: Como estamos no primeiro octante e o plano , varia de 0 a 2 (quando ). -
Para
: Dado um fixo, varia de 0 até . -
Para
: Para cada ponto , varia de 0 até , conforme o cilindro parabólico.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a massa
é dada pela integral tripla da densidade sobre o volume
. A densidade aqui é a distância até a origem, que é
.
Passo 4
Juntando tudo, nossa integral tripla vai ter os seguintes limites:
-
de 0 a 2 -
de 0 a -
de 0 a
E a função densidade será
.
Resposta
A massa
do sólido
pode ser escrita como:
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
se move sobre uma superfície
. Sejam
e
as coordenadas da partícula no instante
.
Estabeleça o vetor aceleração ;
Estabeleça o vetor aceleração
No problema correspondente a você:
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
.
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
Seja
em que
é a região sólida do semiespaço
delimitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Seja
a massa de uma região sólida
. Escreva (sem calcular)
como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.