Seja I=integral triplaS y d V em que S é a região sólida do semiespaço y >= 0 delimitada acima pelo paraboloide z=4-x^2-y^2 e abaixo pelo plano x y.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é o semiespaço limitado acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano (que é ). Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que a geometria dessa região combina bem com esse sistema. Para isso, precisamos lembrar das fórmulas de conversão e dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é I = integral triplaS (r sin theta) cdot r , dz , dr , dtheta = integral triplaS r^2 sin theta , dz , dr , dtheta . Como , nossa integral passa a ser:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada cilíndrica. Primeiro, o ângulo está restrito a porque . Em seguida, o raio varia de 0 até o ponto onde o paraboloide corta o plano . No plano , , então resulta em . Por último, a coordenada varia de 0 (plano ) até (paraboloide).

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas. Ficaria assim:
I = integral0^pi integral0^2 integral0^4 - r^2 r^2 sin theta , dz , dr , dtheta
Essa é a forma que a integral assume em coordenadas cilíndricas, pronta para ser calculada se precisarmos.

Resposta

I = integral0^pi integral0^2 integral0^4 - r^2 r^2 sin theta , dz , dr , dtheta

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