Seja
em que
é a região sólida do semiespaço
delimitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A gente precisa calcular a integral tripla
, onde a região
é o semiespaço
limitado acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
(que é
). Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que a geometria dessa região combina bem com esse sistema. Para isso, precisamos lembrar das fórmulas de conversão e dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Temos:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Como
, nossa integral passa a ser:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada cilíndrica. Primeiro, o ângulo
está restrito a
porque
. Em seguida, o raio
varia de 0 até o ponto onde o paraboloide corta o plano
. No plano
,
, então
resulta em
. Por último, a coordenada
varia de 0 (plano
) até
(paraboloide).
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas. Ficaria assim:
Essa é a forma que a integral assume em coordenadas cilíndricas, pronta para ser calculada se precisarmos.