Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é o semiespaço limitado acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano (que é ). Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que a geometria dessa região combina bem com esse sistema. Para isso, precisamos lembrar das fórmulas de conversão e dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Temos:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . Como , nossa integral passa a ser:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada cilíndrica. Primeiro, o ângulo está restrito a porque . Em seguida, o raio varia de 0 até o ponto onde o paraboloide corta o plano . No plano , , então resulta em . Por último, a coordenada varia de 0 (plano ) até (paraboloide).

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas. Ficaria assim:
Essa é a forma que a integral assume em coordenadas cilíndricas, pronta para ser calculada se precisarmos.

Resposta

Exercícios relacionados

Considere o sólido , do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação , o plano e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa do sólido como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas
Uma partícula de massa se move sobre uma superfície . Sejam e as coordenadas da partícula no instante .
Estabeleça o vetor aceleração ;
Seja a massa de uma região sólida . Escreva (sem calcular) como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.