Uma partícula de massa
se move sobre uma superfície
. Sejam
e
as coordenadas da partícula no instante
.
Estabeleça o vetor aceleração
;
Estabeleça o vetor aceleração
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o vetor aceleração a de uma partícula de massa m que se move sobre uma superfície definida por z = f(x, y). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, como derivadas e a regra da cadeia, além de entender como as coordenadas da partícula variam com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula é dada pelas coordenadas x(t), y(t) e z(t). Sabemos que z depende de x e y através da função f(x, y). Então, podemos escrever:
Passo 3
Para encontrar o vetor aceleração, precisamos calcular as segundas derivadas do vetor posição em relação ao tempo. O vetor posição r é dado por:
A aceleração é a segunda derivada de r:
Passo 4
Vamos calcular
. Como z é função de x e y, usamos a regra da cadeia:
Agora, derivamos novamente em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, juntando tudo, o vetor aceleração a fica:
Resposta
Então, o vetor aceleração da partícula é:
Exercícios relacionados
No problema correspondente a você:
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
.
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
.
Considere o sólido
, do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação
, o plano
e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa do sólido
como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas
Escreva (sem calcular) a massa
Seja
em que
é a região sólida do semiespaço
delimitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.