Uma partícula de massa se move sobre uma superfície . Sejam e as coordenadas da partícula no instante .
Estabeleça o vetor aceleração ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o vetor aceleração a de uma partícula de massa m que se move sobre uma superfície definida por z = f(x, y). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, como derivadas e a regra da cadeia, além de entender como as coordenadas da partícula variam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição da partícula é dada pelas coordenadas x(t), y(t) e z(t). Sabemos que z depende de x e y através da função f(x, y). Então, podemos escrever:

Passo 3

Para encontrar o vetor aceleração, precisamos calcular as segundas derivadas do vetor posição em relação ao tempo. O vetor posição r é dado por:
A aceleração é a segunda derivada de r:

Passo 4

Vamos calcular . Como z é função de x e y, usamos a regra da cadeia:
Agora, derivamos novamente em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, juntando tudo, o vetor aceleração a fica:

Resposta

Então, o vetor aceleração da partícula é:

Exercícios relacionados

No problema correspondente a você:
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
.
No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
.
Considere o sólido , do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação , o plano e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa do sólido como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas
Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.