No problema correspondente a você:
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
.
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
.
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial:
, e queremos analisar esse problema no ponto
. O conteúdo aqui envolve Pontos Singulares Regulares, Equação Indicial, Relação de Recorrência e Soluções em Série. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar pontos singulares, montar a equação indicial, encontrar as raízes e construir a solução em série.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é um ponto singular regular da equação diferencial. Uma equação diferencial de segunda ordem pode ser escrita na forma padrão:
Para a nossa equação
, dividindo tudo por
(desde que
):
Aqui,
e
. Para que
seja um ponto singular regular, as funções
e
devem ser analíticas em
. No nosso caso,
:
Ambas as expressões são analíticas em
, então
é um ponto singular regular.
Passo 3
Agora, vamos determinar a equação indicial e a relação de recorrência. Suponha que a solução seja uma série de potências centrada em
:
Derivando termo a termo:
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando os expoentes:
Para juntar as séries, ajustamos os índices:
Igualando os coeficientes a zero, começando com
:
Para
:
Isso é a equação indicial:
Passo 4
Vamos encontrar as raízes da equação indicial
. Resolvendo:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, agora estabelecemos a relação de recorrência para os coeficientes
. Voltando à equação geral:
Simplificando:
Passo 6
Vamos construir a solução em série para cada raiz.
Caso 1:
A série começa com
:
Usando a relação de recorrência:
Simplificando:
Calculando os primeiros termos:
Portanto:
Caso 2:
A série começa com
:
Usando a relação de recorrência:
Calculando os primeiros termos:
Neste caso, a solução trivial
é a única solução não nula.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
centrada em
é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.