No problema correspondente a você:
i. Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em .
ii. Determine a equação indicial e a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
iii. Encontre as raízes da equação indicial.
iv. Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
v. Escreva a solução com no mínimo os 6 primeiros termos não nulos.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial: , e queremos analisar esse problema no ponto . O conteúdo aqui envolve Pontos Singulares Regulares, Equação Indicial, Relação de Recorrência e Soluções em Série. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar pontos singulares, montar a equação indicial, encontrar as raízes e construir a solução em série.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é um ponto singular regular da equação diferencial. Uma equação diferencial de segunda ordem pode ser escrita na forma padrão:
Para a nossa equação , dividindo tudo por (desde que ):
Aqui, e . Para que seja um ponto singular regular, as funções e devem ser analíticas em . No nosso caso, :
Ambas as expressões são analíticas em , então é um ponto singular regular.

Passo 3

Agora, vamos determinar a equação indicial e a relação de recorrência. Suponha que a solução seja uma série de potências centrada em :
Derivando termo a termo:
Substituindo , e na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando os expoentes:
Para juntar as séries, ajustamos os índices:
Igualando os coeficientes a zero, começando com :
Para :
Isso é a equação indicial:

Passo 4

Vamos encontrar as raízes da equação indicial . Resolvendo:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, agora estabelecemos a relação de recorrência para os coeficientes . Voltando à equação geral:
Simplificando:

Passo 6

Vamos construir a solução em série para cada raiz.
Caso 1:
A série começa com :
Usando a relação de recorrência:
Simplificando:
Calculando os primeiros termos:
Portanto:
Caso 2:
A série começa com :
Usando a relação de recorrência:
Calculando os primeiros termos:
Neste caso, a solução trivial é a única solução não nula.

Resposta

A solução geral da equação diferencial centrada em é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
.
Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde r e K são constantes positivas. Resolva a equação de Gompertz sujeita a condição inicial .
Uma partícula de massa se move sobre uma superfície . Sejam e as coordenadas da partícula no instante .
Estabeleça o vetor aceleração ;
Considere o sólido , do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação , o plano e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a massa do sólido como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas