Considere a solução geral para o movimento de um oscilador harmônico simples em função do tempo
. Considere que a amplitude é máxima em
, ou seja,
e esboce os gráficos de
e
. Utilize as grandezas dadas na equação de
para indicar as marcações nos eixos (abscissa e ordenada) dos gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um oscilador harmônico simples, que é basicamente um objeto que se move para frente e para trás ao redor de um ponto de equilíbrio, tipo um pêndulo ou uma mola. A equação dada é
, onde:
-
é a amplitude máxima do movimento. -
é a frequência angular, relacionada a quão rápido o objeto oscila. -
é a fase inicial, que ajusta onde o movimento começa no tempo .
Como a amplitude é máxima em
, isso significa que
. Então, nossa equação fica
. Precisamos esboçar os gráficos de posição
, velocidade
e aceleração
em função do tempo, usando os valores da equação para marcar os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como obter as expressões para velocidade e aceleração a partir da posição. Sabemos que:
- A velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo. - A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Então, vamos derivar
:
A derivada de
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração:
A derivada de
é
, então:
Passo 4
Vamos resumir as equações que temos:
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
Agora, vamos identificar as características principais de cada gráfico.
Passo 5
Para o gráfico de
:
- É uma função cossenoidal com amplitude
. - O eixo horizontal (tempo,
) vai variar, e o eixo vertical vai de a .
Para o gráfico de
:
- É uma função senoidal multiplicada por
. - A amplitude será
, variando de a .
Para o gráfico de
:
- É também uma função cossenoidal multiplicada por
. - A amplitude será
, variando de a .
Passo 6
Vamos agora pensar nas marcações dos eixos para cada gráfico:
-
Gráfico de
: - Eixo
: tempo , iniciado em 0. - Eixo
: posição , de a .
- Eixo
-
Gráfico de
: - Eixo
: tempo , igual ao do gráfico de . - Eixo
: velocidade , de a .
- Eixo
-
Gráfico de
: - Eixo
: tempo , igual aos outros. - Eixo
: aceleração , de a .
- Eixo
Passo 7
Com isso, podemos esboçar os gráficos:
-
: Uma curva em forma de cosseno, começando em quando e oscilando entre e . -
: Uma curva em forma de seno invertido, começando em zero quando , alcançando máxima velocidade positiva a meio período, voltando a zero no próximo pico, e assim por diante. -
: Semelhante ao gráfico de , mas com amplitude aumentada por um fator de e invertida.
Resposta
Pronto! Você tem os três gráficos esboçados:
-
Posição
: Cosseno com amplitude , oscilando entre e , eixo horizontal e vertical . -
Velocidade
: Seno invertido com amplitude , oscilando entre e , mesmo eixo horizontal e vertical . -
Aceleração
: Cosseno invertido com amplitude , oscilando entre e , mesmo eixo horizontal e vertical .
Assim, os gráficos refletem as relações entre posição, velocidade e aceleração no movimento harmônico simples.
Exercícios relacionados
EXEMPLO 5. Uma espira de corrente circular, de raio de
, carrega uma corrente de
. (a) Qual é a intensidade do momento de dipolo magnético? Se o dipolo é orientado a
de um campo magnético uniforme de
, (b) qual seria a intensidade do torque que ele experimentaria e © a energia potencial?
Observação:
O conceito de alinhar o momento magnético com o campo magnético é o princípio da funcionalidade de dispositivos como motores magnéticos, em que a comutação do campo magnético externo resulta em uma rotação constante da espira enquanto tenta se alinhar com o campo para minimizar sua energia potencial.
Observação:
O conceito de alinhar o momento magnético com o campo magnético é o princípio da funcionalidade de dispositivos como motores magnéticos, em que a comutação do campo magnético externo resulta em uma rotação constante da espira enquanto tenta se alinhar com o campo para minimizar sua energia potencial.
Um anel uniformemente carregado de raio
tem uma carga total de
. Encontre o campo elétrico no eixo do anel afastado do seu centro a uma distância de
metros. Use
e dê a resposta em Newtons por Coulomb.
Um dado pêndulo físico é composto por uma vareta de comprimento
pendurada por uma de suas extremidades. O período de oscilação deste pêndulo físico é:
Qual comprimento deve ter um pêndulo simples para que ele tenha o mesmo período do pêndulo físico descrito acima?
EXEMPLO 1. Uma partícula alfa (
) se move num campo magnético uniforme de
, no sentido positivo do eixo z . Qual é a força magnética que age na partícula alfa quando está se movendo: (a) no sentido positivo do eixo
com velocidade de
? (b) No sentido negativo do eixo y com velocidade de
? © No sentido positivo do eixo
com velocidade de
? (d) Com velocidade
?