Considere a solução geral para o movimento de um oscilador harmônico simples em função do tempo
. Considere que a amplitude é máxima em
, ou seja,
e esboce os gráficos de
e
. Utilize as grandezas dadas na equação de
para indicar as marcações nos eixos (abscissa e ordenada) dos gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um oscilador harmônico simples, que é basicamente um objeto que se move para frente e para trás ao redor de um ponto de equilíbrio, tipo um pêndulo ou uma mola. A equação dada é
, onde:
-
é a amplitude máxima do movimento. -
é a frequência angular, relacionada a quão rápido o objeto oscila. -
é a fase inicial, que ajusta onde o movimento começa no tempo .
Como a amplitude é máxima em
, isso significa que
. Então, nossa equação fica
. Precisamos esboçar os gráficos de posição
, velocidade
e aceleração
em função do tempo, usando os valores da equação para marcar os eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como obter as expressões para velocidade e aceleração a partir da posição. Sabemos que:
- A velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo. - A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Então, vamos derivar
:
A derivada de
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração:
A derivada de
é
, então:
Passo 4
Vamos resumir as equações que temos:
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
Agora, vamos identificar as características principais de cada gráfico.
Passo 5
Para o gráfico de
:
- É uma função cossenoidal com amplitude
. - O eixo horizontal (tempo,
) vai variar, e o eixo vertical vai de a .
Para o gráfico de
:
- É uma função senoidal multiplicada por
. - A amplitude será
, variando de a .
Para o gráfico de
:
- É também uma função cossenoidal multiplicada por
. - A amplitude será
, variando de a .
Passo 6
Vamos agora pensar nas marcações dos eixos para cada gráfico:
-
Gráfico de
: - Eixo
: tempo , iniciado em 0. - Eixo
: posição , de a .
- Eixo
-
Gráfico de
: - Eixo
: tempo , igual ao do gráfico de . - Eixo
: velocidade , de a .
- Eixo
-
Gráfico de
: - Eixo
: tempo , igual aos outros. - Eixo
: aceleração , de a .
- Eixo
Passo 7
Com isso, podemos esboçar os gráficos:
-
: Uma curva em forma de cosseno, começando em quando e oscilando entre e . -
: Uma curva em forma de seno invertido, começando em zero quando , alcançando máxima velocidade positiva a meio período, voltando a zero no próximo pico, e assim por diante. -
: Semelhante ao gráfico de , mas com amplitude aumentada por um fator de e invertida.
Resposta
Pronto! Você tem os três gráficos esboçados:
-
Posição
: Cosseno com amplitude , oscilando entre e , eixo horizontal e vertical . -
Velocidade
: Seno invertido com amplitude , oscilando entre e , mesmo eixo horizontal e vertical . -
Aceleração
: Cosseno invertido com amplitude , oscilando entre e , mesmo eixo horizontal e vertical .
Assim, os gráficos refletem as relações entre posição, velocidade e aceleração no movimento harmônico simples.