Considere a solução geral para o movimento de um oscilador harmônico simples em função do tempo . Considere que a amplitude é máxima em , ou seja, e esboce os gráficos de e . Utilize as grandezas dadas na equação de para indicar as marcações nos eixos (abscissa e ordenada) dos gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um oscilador harmônico simples, que é basicamente um objeto que se move para frente e para trás ao redor de um ponto de equilíbrio, tipo um pêndulo ou uma mola. A equação dada é , onde:
  • é a amplitude máxima do movimento.
  • é a frequência angular, relacionada a quão rápido o objeto oscila.
  • é a fase inicial, que ajusta onde o movimento começa no tempo .
Como a amplitude é máxima em , isso significa que . Então, nossa equação fica . Precisamos esboçar os gráficos de posição , velocidade e aceleração em função do tempo, usando os valores da equação para marcar os eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como obter as expressões para velocidade e aceleração a partir da posição. Sabemos que:
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Então, vamos derivar :
A derivada de é , então:

Passo 3

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração:
A derivada de é , então:

Passo 4

Vamos resumir as equações que temos:
  • Posição:
  • Velocidade:
  • Aceleração:
Agora, vamos identificar as características principais de cada gráfico.

Passo 5

Para o gráfico de :
  • É uma função cossenoidal com amplitude .
  • O eixo horizontal (tempo, ) vai variar, e o eixo vertical vai de a .
Para o gráfico de :
  • É uma função senoidal multiplicada por .
  • A amplitude será , variando de a .
Para o gráfico de :
  • É também uma função cossenoidal multiplicada por .
  • A amplitude será , variando de a .

Passo 6

Vamos agora pensar nas marcações dos eixos para cada gráfico:
  • Gráfico de :
    • Eixo : tempo , iniciado em 0.
    • Eixo : posição , de a .
  • Gráfico de :
    • Eixo : tempo , igual ao do gráfico de .
    • Eixo : velocidade , de a .
  • Gráfico de :
    • Eixo : tempo , igual aos outros.
    • Eixo : aceleração , de a .

Passo 7

Com isso, podemos esboçar os gráficos:
  • : Uma curva em forma de cosseno, começando em quando e oscilando entre e .
  • : Uma curva em forma de seno invertido, começando em zero quando , alcançando máxima velocidade positiva a meio período, voltando a zero no próximo pico, e assim por diante.
  • : Semelhante ao gráfico de , mas com amplitude aumentada por um fator de e invertida.

Resposta

Pronto! Você tem os três gráficos esboçados:
  1. Posição : Cosseno com amplitude , oscilando entre e , eixo horizontal e vertical .
  2. Velocidade : Seno invertido com amplitude , oscilando entre e , mesmo eixo horizontal e vertical .
  3. Aceleração : Cosseno invertido com amplitude , oscilando entre e , mesmo eixo horizontal e vertical .
Assim, os gráficos refletem as relações entre posição, velocidade e aceleração no movimento harmônico simples.

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