Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descrever o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender para quais valores de a função está definida (domínio) e quais valores a função pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com raízes quadradas e frações, garantindo que as expressões dentro da raiz sejam não negativas e que o denominador da fração não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Temos dois pontos importantes aqui:
  1. O denominador não pode ser zero: .
  2. A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero: .
Vamos resolver cada um desses pontos.

Passo 3

Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto, e .

Passo 4

Agora, vamos analisar a desigualdade .
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar observando que , então:
Cancelando (lembrando que ):
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se de inverter a desigualdade):

Passo 5

Agora, vamos resolver a desigualdade . Para isso, vamos determinar os intervalos onde essa fração é negativa ou zero.
Os pontos críticos são onde e :
Dividimos a reta numérica em intervalos com base nesses pontos: , , .
Vamos testar um valor em cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • → Não satisfaz
  2. Intervalo :
    • → Satisfaz
  3. Intervalo :
    • → Não satisfaz
Também verificamos os pontos onde a expressão é igual a zero:
  • : → Incluído
  • : A função não está definida (denominador zero)

Passo 6

Então, o domínio da função é todos os valores de no intervalo .

Passo 7

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de .
Como , e a raiz quadrada sempre retorna valores não negativos, a imagem será todos os valores reais onde .
Vamos analisar o comportamento da função dentro do domínio :
  • Em :
  • À medida que se aproxima de 3:
    O denominador se aproxima de 0, tornando o valor dentro da raiz muito grande. Portanto, tende ao infinito.
Assim, a imagem da função é .

Resposta

O domínio da função é e a imagem é .

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