Descreva o domínio e imagem de cada função:
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
f(x)=\sqrt{\frac{1-x{2}}{x{2}-4 x+3}}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descrever o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender para quais valores de
a função está definida (domínio) e quais valores a função pode assumir (imagem). Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com raízes quadradas e frações, garantindo que as expressões dentro da raiz sejam não negativas e que o denominador da fração não seja zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Temos dois pontos importantes aqui:
- O denominador não pode ser zero:
. - A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
.
Vamos resolver cada um desses pontos.
Passo 3
Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Portanto,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a desigualdade
.
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar observando que
, então:
Cancelando
(lembrando que
):
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se de inverter a desigualdade):
Passo 5
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, vamos determinar os intervalos onde essa fração é negativa ou zero.
Os pontos críticos são onde
e
:
-
⇨ -
⇨
Dividimos a reta numérica em intervalos com base nesses pontos:
,
,
.
Vamos testar um valor em cada intervalo:
-
Intervalo
: -
-
→ Não satisfaz
-
-
Intervalo
: -
-
→ Satisfaz
-
-
Intervalo
: -
-
→ Não satisfaz
-
Também verificamos os pontos onde a expressão é igual a zero:
-
: → Incluído -
: A função não está definida (denominador zero)
Passo 6
Então, o domínio da função
é todos os valores de
no intervalo
.
Passo 7
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de
.
Como
, e a raiz quadrada sempre retorna valores não negativos, a imagem será todos os valores reais
onde
.
Vamos analisar o comportamento da função dentro do domínio
:
-
Em
:
-
À medida que
se aproxima de 3:
O denominadorse aproxima de 0, tornando o valor dentro da raiz muito grande. Portanto, tende ao infinito.
Assim, a imagem da função é
.
Resposta
O domínio da função é
e a imagem é
.
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