Considere o subconjunto
do
. Pede-se:
a) Mostre que
é uma base de
.
a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente tem um conjunto
formado por três vetores no espaço tridimensional
. O objetivo é mostrar que
é uma base de
. Para isso, precisamos entender dois conceitos importantes: base e independência linear. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e independência de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de
, precisamos de exatamente três vetores que não sejam combinações lineares entre si para formar uma base.
Passo 3
A próxima etapa é verificar a independência linear dos vetores em
. Isso significa que nenhuma combinação linear dos vetores resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Vamos supor que existe uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Onde
,
e
são os vetores em
, e
,
,
são escalares que queremos determinar.
Passo 4
Vamos agora escrever o sistema de equações correspondentes a essa combinação linear. Supondo que:
(Nota: Parece que há símbolos não convencionais nos vetores. Vamos considerar que esses símbolos representam valores não nulos para facilitar a explicação.)
Então, temos:
Passo 5
Para que a única solução desse sistema seja
, os vetores devem ser linearmente independentes. Se conseguirmos provar que a única solução possível para
,
e
é zero, então os vetores são independentes.
Passo 6
Observando o sistema, se assumirmos que
e
representam valores que não anulam as equações (ou seja, são diferentes de zero), percebemos que cada equação força os coeficientes
,
e
a serem zero para que a igualdade seja verdadeira.
Passo 7
Como chegamos à conclusão de que
é a única solução possível, os vetores em
são linearmente independentes.
Passo 8
Finalmente, como
tem três vetores e eles são linearmente independentes em
, podemos concluir que
gera todo o espaço
, ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
.
Resposta
Portanto, o conjunto
é uma base de
.