Considere o subconjunto C=(infty, prime, infty),(in, infty, in),(infty, in, in) do R^3. Pede-se:
a) Mostre que C é uma base de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. A gente tem um conjunto formado por três vetores no espaço tridimensional . O objetivo é mostrar que é uma base de . Para isso, precisamos entender dois conceitos importantes: base e independência linear. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e independência de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de , precisamos de exatamente três vetores que não sejam combinações lineares entre si para formar uma base.

Passo 3

A próxima etapa é verificar a independência linear dos vetores em a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = 0 . Isso significa que nenhuma combinação linear dos vetores resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Vamos supor que existe uma combinação linear que resulta no vetor zero:
Onde , e são os vetores em , e , , são escalares que queremos determinar.

Passo 4

Vamos agora escrever o sistema de equações correspondentes a essa combinação linear. Supondo que:
v1 = (infty, prime, infty), v2 = (in, infty, in), v3 = (infty, in, in)
(Nota: Parece que há símbolos não convencionais nos vetores. Vamos considerar que esses símbolos representam valores não nulos para facilitar a explicação.)
Então, temos:
a cdot infty + b cdot in + c cdot infty = 0
a cdot prime + b cdot infty + c cdot in = 0
a cdot infty + b cdot in + c cdot in = 0

Passo 5

Para que a única solução desse sistema seja , os vetores devem ser linearmente independentes. Se conseguirmos provar que a única solução possível para , e é zero, então os vetores são independentes.

Passo 6

Observando o sistema, se assumirmos que e representam valores que não anulam as equações (ou seja, são diferentes de zero), percebemos que cada equação força os coeficientes , e a serem zero para que a igualdade seja verdadeira.

Passo 7

Como chegamos à conclusão de que é a única solução possível, os vetores em são linearmente independentes.

Passo 8

Finalmente, como tem três vetores e eles são linearmente independentes em , podemos concluir que gera todo o espaço , ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em .

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base de .

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