Sejam
e
matrizes que não comutam entre si. Mostrar que o traço do produto é independente da ordem, ou seja, comutativo.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos duas matrizes
e
que não comutam, ou seja,
. O objetivo é mostrar que o traço do produto dessas matrizes é independente da ordem, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o traço de uma matriz e usar propriedades básicas de matrizes e somatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Se
é uma matriz
, então:
Isso significa que somamos os elementos
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto das matrizes
. O elemento da posição
de
é dado por:
Portanto, o traço de
será:
Passo 4
De forma semelhante, vamos calcular o traço de
:
Observe que a soma interna agora tem
.
Passo 5
Perceba que nas duas expressões para
e
, os termos dentro das somas são o mesmo, apenas com a ordem dos fatores trocada:
Como a multiplicação de números reais (ou complexos) é comutativa, podemos trocar a ordem dos fatores:
Passo 6
Portanto, ao somar todos esses termos, obtemos:
Assim, mostramos que
, independente da ordem das matrizes
e
.
Resposta
O traço do produto das matrizes
e
é igual, ou seja,
.