Sejam A e B matrizes que não comutam entre si. Mostrar que o traço do produto é independente da ordem, ou seja, comutativo.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos duas matrizes e que não comutam, ou seja, . O objetivo é mostrar que o traço do produto dessas matrizes é independente da ordem, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o traço de uma matriz e usar propriedades básicas de matrizes e somatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Se tr(C) = sumi=1^n Cii é uma matriz , então:
Isso significa que somamos os elementos .

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto das matrizes (AB)ij = sumk=1^n Aik Bkj . O elemento da posição tr(AB) = sumi=1^n (AB)ii = sumi=1^n ( sumk=1^n Aik Bki ) de é dado por:
Portanto, o traço de será:

Passo 4

De forma semelhante, vamos calcular o traço de tr(BA) = sumi=1^n (BA)ii = sumi=1^n ( sumk=1^n Bik Aki ) :
Observe que a soma interna agora tem .

Passo 5

Perceba que nas duas expressões para Aik Bki = Bki Aik e Aik Bki = Bki Aik , os termos dentro das somas são o mesmo, apenas com a ordem dos fatores trocada:
Como a multiplicação de números reais (ou complexos) é comutativa, podemos trocar a ordem dos fatores:

Passo 6

Portanto, ao somar todos esses termos, obtemos:
tr(AB) = sumi=1^n sumk=1^n Aik Bki = sumi=1^n sumk=1^n Bki Aik = tr(BA)
Assim, mostramos que , independente da ordem das matrizes e .

Resposta

O traço do produto das matrizes e é igual, ou seja, .

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