Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(-1,1),(1,1), beta2=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta3=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2.
c) Se as coordenadas de um vetor v em relação à base beta1 é dada por [v]beta1=[l4 0]. Quais seriam as coordenadas para esse mesmo vetor em relação às bases beta, beta2 e beta3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá quatro bases diferentes de 4 0: , , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de um vetor em três dessas bases ( , e ), sabendo que as coordenadas de na base são . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, como mudar de uma base para outra e usar matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como 4 0, é um conjunto de vetores que são lineares e geradores do espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Aqui, a base v = 4 cdot (-1,1) + 0 cdot (1,1) = (-4,4) é dada, e sabemos que o vetor tem coordenadas nessa base. Isso significa que:
Então, . Agora que temos no sistema padrão , podemos encontrar suas coordenadas nas outras bases.

Passo 3

Vamos encontrar as coordenadas de -4 4 na base padrão . A base é a base padrão de , que consiste nos vetores e .
Como já temos , as coordenadas de na base são simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas de v = a cdot (raiz3, 1) + b cdot (raiz3, -1) na base (-4, 4) = (araiz3 + braiz3, a - b) . Para isso, precisamos resolver o sistema:
raiz3(a + b) = -4
a + b = -4raiz3
Isso nos dá duas equações:
  1. a - b = 4
  2. a + b = -4raiz3
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos fatorar a - b = 4 :
2a = 4 - 4raiz3
a = 2 - 2raiz3
Da segunda equação:
2b = -4raiz3 - 4
Agora, temos:
b = -2raiz3 - 2
[v]beta2 = 2 - 2raiz3 -2 - 2raiz3
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então, as coordenadas de na base são:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar as coordenadas de v = a cdot (2,0) + b cdot (0,2) na base (-4, 4) = (2a, 2b) . Essa base é interessante porque seus vetores são múltiplos dos vetores da base padrão. Vamos expressar 2a = -4 Rightarrow a = -2 como combinação linear dos vetores de 2b = 4 Rightarrow b = 2 :
[v]beta3 = -2 2
Isso nos dá:
Então, as coordenadas de na base são:

Resposta

As coordenadas do vetor &[v]beta = -4 4 , &[v]beta2 = 2 - dfrac2raiz3 -2 - dfrac2raiz3 , &[v]beta3 = -2 2 são:

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