Sejam
,
e
bases ordenadas de
.
c) Se as coordenadas de um vetor
em relação à base
é dada por
. Quais seriam as coordenadas para esse mesmo vetor em relação às bases
e
?
c) Se as coordenadas de um vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá quatro bases diferentes de
:
,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de um vetor
em três dessas bases (
,
e
), sabendo que as coordenadas de
na base
são
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, como mudar de uma base para outra e usar matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial, como
, é um conjunto de vetores que são lineares e geradores do espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Aqui, a base
é dada, e sabemos que o vetor
tem coordenadas
nessa base. Isso significa que:
Então,
. Agora que temos
no sistema padrão
, podemos encontrar suas coordenadas nas outras bases.
Passo 3
Vamos encontrar as coordenadas de
na base padrão
. A base
é a base padrão de
, que consiste nos vetores
e
.
Como já temos
, as coordenadas de
na base
são simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Para isso, precisamos resolver o sistema:
Isso nos dá duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos fatorar
:
Da segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então, as coordenadas de
na base
são:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Essa base é interessante porque seus vetores são múltiplos dos vetores da base padrão. Vamos expressar
como combinação linear dos vetores de
:
Isso nos dá:
Então, as coordenadas de
na base
são:
Resposta
As coordenadas do vetor
são: