Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
vértices
e
; excentricidade igual a
vértices
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado tá pedindo. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem dois vértices em
e
, e a excentricidade é igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre elipses, como os parâmetros
(semi-eixo maior),
(semi-eixo menor) e
(excentricidade).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
. Os vértices da elipse estão a uma distância de
do centro. Aqui, temos os vértices em
e
, então a distância do centro até cada vértice é
. Portanto,
.
Passo 3
Sabemos que a excentricidade
da elipse é dada por
, onde
é a distância do centro até cada foco. Temos
e já sabemos que
. Vamos encontrar
:
Passo 4
Agora que sabemos
, podemos usar a relação entre
,
e
na elipse, que é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Com os valores de
e
conhecidos, podemos escrever a equação da elipse. Como os vértices estão ao longo do eixo x, a equação padrão da elipse é:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da elipse é: