Considere o subconjunto . Um estudante apresentou a seguinte demonstração para provar que é um subespaço vetorial:
Resolugao:
(i)
(ii) Syam ,
temus: ,
como
(ii1) Sijam e . Femos
Responda: Esta demonstração está correta? Justifique sua resposta.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
Estamos analisando se um determinado conjunto de matrizes, chamado , é um subespaço vetorial de (o conjunto de todas as matrizes com entradas reais). O conjunto é definido como:
Para provar que é um subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição de vetores.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos seguir esses passos para verificar a correção da demonstração apresentada pelo estudante.

Passo 2

Verificando se o Vetor Zero está em
O estudante começa mostrando que a matriz zero está em . A matriz zero é:
Como , claramente satisfaz a condição . Portanto, a matriz zero está em .
Teoria Aplicada: Todo subespaço vetorial deve conter o vetor zero.

Passo 3

Verificando a Fechadura sob Adição
O estudante considera duas matrizes em :
Ele soma essas matrizes:
Observa que em , , então também pertence a .
Teoria Aplicada: Se é um subespaço, então a soma de quaisquer dois vetores em também deve estar em .

Passo 4

Verificando a Fechadura sob Multiplicação por Escalar
O estudante pega uma matriz em e multiplica por um escalar :
Aqui, , então também pertence a .
Observação: Houve um pequeno erro de digitação no estudante onde ele escreveu “a > b” em vez de “a = b”.
Teoria Aplicada: Se é um subespaço, então qualquer vetor em multiplicado por um escalar também deve estar em .

Resposta

A demonstração apresentada pelo estudante está quase correta. Ele verificou corretamente que o vetor zero está em , que é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Contudo, houve um pequeno erro de digitação na parte (ii1), onde o estudante escreveu “a > b” ao invés de “a = b”. Apesar disso, a conclusão de que é um subespaço vetorial está correta.

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