Considere o subespaço U de M2(R) definido por U=[lla & b c & d] rvert, a-2 c+d=0. Estenda a base encontrada para U para uma base do M2(R). Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente pegar uma base do subespaço de matrizes com uma condição específica, e depois estender essa base para formar uma base completa do espaço de todas as matrizes . Vamos precisar entender de subespaços, bases e como estender uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço lla & b c & d. Ele é definido por todas as matrizes que satisfazem a equação . Isso significa que nem todas as matrizes estão em , apenas aquelas que seguem essa condição.

Passo 3

Para encontrar uma base para a = 2c - d , precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação [ll2c - d & b c & d] para :
Agora, podemos escrever uma matriz geral em como:
Aqui, , e são livres, ou seja, podem ser quaisquer números reais. Isso nos mostra que a dimensão de é 3.

Passo 4

Agora, vamos expressar a matriz em [ll2c - d & b c & d] = c [ll2 & 0 1 & 0] + b [ll0 & 1 0 & 0] + d [ll-1 & 0 0 & 1] de forma que fique claro quais são os vetores que formam a base. Podemos separar os termos livres:
[ll2 & 0 1 & 0], [ll0 & 1 0 & 0], [ll-1 & 0 0 & 1]
Então, uma base para é formada pelas matrizes:

Passo 5

Agora que temos uma base para , vamos estender essa base para uma base completa de . Como tem dimensão 4 e tem dimensão 3, precisamos adicionar mais uma matriz que não esteja em .

Passo 6

Para encontrar uma matriz que não está em ll1 & 0 0 & 1, podemos escolher uma matriz que não satisfaça a condição 1 - 2(0) + 1 = 2 neq 0 . Por exemplo, a matriz identidade tem , e . Verificando a condição:
Então, não está em .

Passo 7

Assim, podemos adicionar a matriz identidade à nossa base de [ll2 & 0 1 & 0], [ll0 & 1 0 & 0], [ll-1 & 0 0 & 1], [ll1 & 0 0 & 1] para formar uma base de . A base estendida é:
Essa base agora contém 4 matrizes, que é exatamente a dimensão de , e nenhuma delas está redundante.

Resposta

A base estendida de 2 & 0 1 & 0, 0 & 1 0 & 0, -1 & 0 0 & 1, 1 & 0 0 & 1 é:

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