Considere o subespaço de definido por . Estenda a base encontrada para para uma base do . Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente pegar uma base do subespaço de matrizes com uma condição específica, e depois estender essa base para formar uma base completa do espaço de todas as matrizes . Vamos precisar entender de subespaços, bases e como estender uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido por todas as matrizes que satisfazem a equação . Isso significa que nem todas as matrizes estão em , apenas aquelas que seguem essa condição.

Passo 3

Para encontrar uma base para , precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação para :
Agora, podemos escrever uma matriz geral em como:
Aqui, , e são livres, ou seja, podem ser quaisquer números reais. Isso nos mostra que a dimensão de é 3.

Passo 4

Agora, vamos expressar a matriz em de forma que fique claro quais são os vetores que formam a base. Podemos separar os termos livres:
Então, uma base para é formada pelas matrizes:

Passo 5

Agora que temos uma base para , vamos estender essa base para uma base completa de . Como tem dimensão 4 e tem dimensão 3, precisamos adicionar mais uma matriz que não esteja em .

Passo 6

Para encontrar uma matriz que não está em , podemos escolher uma matriz que não satisfaça a condição . Por exemplo, a matriz identidade tem , e . Verificando a condição:
Então, não está em .

Passo 7

Assim, podemos adicionar a matriz identidade à nossa base de para formar uma base de . A base estendida é:
Essa base agora contém 4 matrizes, que é exatamente a dimensão de , e nenhuma delas está redundante.

Resposta

A base estendida de é:

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Determine uma equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico. Focos , vérices
Considere o triângulo de vértices e . Sendo assim, responda a cada um dos itens abaixo:
(b) determine a equação da reta que passa por e ;
Considere o subconjunto . Um estudante apresentou a seguinte demonstração para provar que é um subespaço vetorial:
Resolugao:
(i)
(ii) Syam ,
temus: ,
como
(ii1) Sijam e . Femos
Responda: Esta demonstração está correta? Justifique sua resposta.
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