Considere o subespaço de definido por . Estenda a base encontrada para para uma base do . Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para a gente pegar uma base do subespaço de matrizes com uma condição específica, e depois estender essa base para formar uma base completa do espaço de todas as matrizes . Vamos precisar entender de subespaços, bases e como estender uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido por todas as matrizes que satisfazem a equação . Isso significa que nem todas as matrizes estão em , apenas aquelas que seguem essa condição.
Passo 3
Para encontrar uma base para , precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação para :
Agora, podemos escrever uma matriz geral em como:
Aqui, , e são livres, ou seja, podem ser quaisquer números reais. Isso nos mostra que a dimensão de é 3.
Passo 4
Agora, vamos expressar a matriz em de forma que fique claro quais são os vetores que formam a base. Podemos separar os termos livres:
Então, uma base para é formada pelas matrizes:
Passo 5
Agora que temos uma base para , vamos estender essa base para uma base completa de . Como tem dimensão 4 e tem dimensão 3, precisamos adicionar mais uma matriz que não esteja em .
Passo 6
Para encontrar uma matriz que não está em , podemos escolher uma matriz que não satisfaça a condição . Por exemplo, a matriz identidade tem , e . Verificando a condição:
Então, não está em .
Passo 7
Assim, podemos adicionar a matriz identidade à nossa base de para formar uma base de . A base estendida é:
Essa base agora contém 4 matrizes, que é exatamente a dimensão de , e nenhuma delas está redundante.