Determine uma equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico. Focos , vérices

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tenha os focos em e , e os vértices em e . Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de geometria das hipérboles.

Passo 2

Identificando o centro da hipérbole:
As hipérboles são simétricas em relação ao seu centro. Como os vértices estão em e , o centro está na média das coordenadas desses pontos. Então, o centro é:

Passo 3

Determinar os valores de e :
  • é a distância do centro aos vértices. Como os vértices estão a 2 unidades do centro, temos .
  • é a distância do centro aos focos. Os focos estão a 3 unidades do centro, então .

Passo 4

Encontrar o valor de :
Nas hipérboles, a relação entre , e é dada por:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Determinar a orientação da hipérbole:
Como os vértices e os focos estão alinhados ao longo do eixo y, a hipérbole é vertical. Portanto, a equação padrão da hipérbole será:

Passo 6

Substituir os valores na equação padrão:
Já encontramos e . Substituindo esses valores na equação, temos:

Resposta

A equação da hipérbole é:

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Considere o subconjunto . Um estudante apresentou a seguinte demonstração para provar que é um subespaço vetorial:
Resolugao:
(i)
(ii) Syam ,
temus: ,
como
(ii1) Sijam e . Femos
Responda: Esta demonstração está correta? Justifique sua resposta.
Considere o subespaço de definido por . Estenda a base encontrada para para uma base do . Justifique sua resposta.
Divida em três partes iguais o segmento de extremidades e .
Dados os pontos e ache a equação geral da reta que passa por e pelo ponto médio de .