Determine uma equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico. Focos , vérices
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tenha os focos em e , e os vértices em e . Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de geometria das hipérboles.
Passo 2
Identificando o centro da hipérbole:
As hipérboles são simétricas em relação ao seu centro. Como os vértices estão em e , o centro está na média das coordenadas desses pontos. Então, o centro é:
Passo 3
Determinar os valores de e :
é a distância do centro aos vértices. Como os vértices estão a 2 unidades do centro, temos .
é a distância do centro aos focos. Os focos estão a 3 unidades do centro, então .
Passo 4
Encontrar o valor de :
Nas hipérboles, a relação entre , e é dada por:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Determinar a orientação da hipérbole:
Como os vértices e os focos estão alinhados ao longo do eixo y, a hipérbole é vertical. Portanto, a equação padrão da hipérbole será:
Passo 6
Substituir os valores na equação padrão:
Já encontramos e . Substituindo esses valores na equação, temos: