Determine uma equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico. Focos F1(0,-3), F2(0,3), vérices A1(0,-2), A2(0,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tenha os focos em e , e os vértices em e . Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de geometria das hipérboles.

Passo 2

Identificando o centro da hipérbole:
As hipérboles são simétricas em relação ao seu centro. Como os vértices estão em ( 0+02, -2+22 ) = (0,0) e , o centro está na média das coordenadas desses pontos. Então, o centro é:

Passo 3

Determinar os valores de e :
  • é a distância do centro aos vértices. Como os vértices estão a 2 unidades do centro, temos .
  • é a distância do centro aos focos. Os focos estão a 3 unidades do centro, então .

Passo 4

Encontrar o valor de c^2 = a^2 + b^2 :
Nas hipérboles, a relação entre 3^2 = 2^2 + b^2 9 = 4 + b^2 b^2 = 9 - 4 b^2 = 5 , e é dada por:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Determinar a orientação da hipérbole:
Como os vértices e os focos estão alinhados ao longo do eixo y, a hipérbole é vertical. Portanto, a equação padrão da hipérbole será:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1

Passo 6

Substituir os valores na equação padrão:
Já encontramos y^24 - x^25 = 1 e . Substituindo esses valores na equação, temos:

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^24 - x^25 = 1

Exercícios relacionados