Com relação a transformação linear T: P2 P1 dada por T(c+b x+a x^2)=b+c+a x, para todo p(x)=c+b x+a x^2 Responda: Determine dim(Ker(T)) e dim(Im(T))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear T(c + b x + a x^2) = b + c + a x . Basicamente, estamos lidando com polinômios de grau no máximo 2 indo para polinômios de grau no máximo 1. A transformação é dada por:
Precisamos encontrar a dimensão do núcleo de (Ker(T)) e a dimensão da imagem de (Im(T)). Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o núcleo da transformação T(c + b x + a x^2) = 0 . O Ker(T) é o conjunto de todos os polinômios b + c + a x = 0 que são enviados para o polinômio zero em . Ou seja:
Isso significa que:

Passo 3

Para que b + c = 0 a = 0 seja verdadeiro para todo a = 0 e b = -c , os coeficientes de cada termo devem ser zero. Então, temos o sistema:
Resolvendo, temos:

Passo 4

Então, os polinômios no núcleo são da forma:
p(x) = c - c x + 0 x^2 = c(1 - x)
Isso significa que todo polinômio no Ker(T) é um múltiplo do polinômio . Portanto, o Ker(T) é gerado por um único vetor.

Passo 5

A dimensão do núcleo, dim(Ker(T)) = 1 , é o número de vetores na base do Ker(T). Como temos apenas um vetor que gera o Ker(T), então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a imagem de T(c + b x + a x^2) = b + c + a x , ou seja, todos os polinômios em T(p(x)) = (b + c) + a x que podem ser obtidos através de . A transformação é:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que a imagem de consiste em todos os polinômios de grau no máximo 1 da forma , onde e .

Passo 7

Para determinar a dimensão da imagem, observamos que os coeficientes dim(Im(T)) = 2 e são livres para assumir qualquer valor real (assumindo que estamos trabalhando sobre os reais). Portanto, a base da Im(T) pode ser, por exemplo, .
Então, a dimensão da imagem é:

Resposta

A dimensão do núcleo de é 1 e a dimensão da imagem de é 2.

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