Com relação a transformação linear
dada por
Responda: Determine
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
. Basicamente, estamos lidando com polinômios de grau no máximo 2 indo para polinômios de grau no máximo 1. A transformação é dada por:
Precisamos encontrar a dimensão do núcleo de
(Ker(T)) e a dimensão da imagem de
(Im(T)). Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o núcleo da transformação
. O Ker(T) é o conjunto de todos os polinômios
que são enviados para o polinômio zero em
. Ou seja:
Isso significa que:
Passo 3
Para que
seja verdadeiro para todo
, os coeficientes de cada termo devem ser zero. Então, temos o sistema:
Resolvendo, temos:
Passo 4
Então, os polinômios no núcleo são da forma:
Isso significa que todo polinômio no Ker(T) é um múltiplo do polinômio
. Portanto, o Ker(T) é gerado por um único vetor.
Passo 5
A dimensão do núcleo,
, é o número de vetores na base do Ker(T). Como temos apenas um vetor
que gera o Ker(T), então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de
, ou seja, todos os polinômios em
que podem ser obtidos através de
. A transformação é:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que a imagem de
consiste em todos os polinômios de grau no máximo 1 da forma
, onde
e
.
Passo 7
Para determinar a dimensão da imagem, observamos que os coeficientes
e
são livres para assumir qualquer valor real (assumindo que estamos trabalhando sobre os reais). Portanto, a base da Im(T) pode ser, por exemplo,
.
Então, a dimensão da imagem é:
Resposta
A dimensão do núcleo de
é 1 e a dimensão da imagem de
é 2.
Exercícios relacionados
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(e) ;
(e)
Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa:
.
Seja
a transformação linear dada por (derivadas): Encontre a matriz
que representa
na base
.
Considere o subconjunto de
Responda com justificativa.
(e) e
estão em soma direta? Qual é o subespaço soma desses dois?
(e)