Seja T: P2 P2 a transformação linear dada por (derivadas): Encontre a matriz T(p(x))=x cdot p^prime(x)+p^prime iiii que representa [T]beta^beta na base T.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a matriz da transformação linear na base . A transformação está definida por . Como estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2 ( ), a derivada quarta ( ) de qualquer polinômio aqui será zero. Então, na prática, . Para encontrar a matriz dessa transformação na base , vamos aplicar a cada elemento da base e expressar o resultado como combinação linear dos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar p'(x) = 0 ao primeiro vetor da base, que é T(1) = x cdot 0 = 0 . Calculando a derivada de 0 = a cdot 1 + b cdot x + c cdot (1 + x^2) :
a = 0, b = 0, c = 0
Então,
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Comparando os coeficientes, temos:
Portanto, as coordenadas de na base são .

Passo 3

Agora, vamos aplicar p'(x) = 1 ao segundo vetor da base, que é T(x) = x cdot 1 = x . Calculando a derivada de x = a cdot 1 + b cdot x + c cdot (1 + x^2) :
a + c = 0 (coeficiente de x^0)
Então,
b = 1 (coeficiente de x^1)
Queremos expressar c = 0 (coeficiente de x^2) como uma combinação linear dos vetores da base :
Comparando os coeficientes, vemos que:
Resolvendo, temos , , e . Assim, as coordenadas de na base são .

Passo 4

Por último, vamos aplicar p'(x) = 2x ao terceiro vetor da base, que é T(1 + x^2) = x cdot 2x = 2x^2 . Calculando a derivada de 2x^2 = a cdot 1 + b cdot x + c cdot (1 + x^2) :
a + c = 0 (coeficiente de x^0)
Então,
b = 0 (coeficiente de x^1)
Queremos expressar c = 2 (coeficiente de x^2) como uma combinação linear dos vetores da base :
Comparando os coeficientes, temos:
Resolvendo, encontramos , , e . Portanto, as coordenadas de na base são .

Resposta

A matriz da transformação [T]beta^beta = 0 & 0 & -2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 na base é:

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