Seja a transformação linear dada por (derivadas): Encontre a matriz que representa na base .
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a matriz da transformação linear na base . A transformação está definida por . Como estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2 (), a derivada quarta () de qualquer polinômio aqui será zero. Então, na prática, . Para encontrar a matriz dessa transformação na base , vamos aplicar a cada elemento da base e expressar o resultado como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar ao primeiro vetor da base, que é . Calculando a derivada de :
Então,
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Comparando os coeficientes, temos:
Portanto, as coordenadas de na base são .
Passo 3
Agora, vamos aplicar ao segundo vetor da base, que é . Calculando a derivada de :
Então,
Queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Comparando os coeficientes, vemos que:
Resolvendo, temos , , e . Assim, as coordenadas de na base são .
Passo 4
Por último, vamos aplicar ao terceiro vetor da base, que é . Calculando a derivada de :
Então,
Queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Comparando os coeficientes, temos:
Resolvendo, encontramos , , e . Portanto, as coordenadas de na base são .