Considere o subconjunto de R^3
U=(x, y, z) in R^3: 2 x+5 y-3 z=0
Responda com justificativa.
© Ache um vetor u em U, mas que não esteja na reta SpanRv (que passa por v e 0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de vetores em que satisfazem a equação . O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subconjuntos de espaços vetoriais e geradores. Precisamos encontrar um vetor que pertence a mas que não esteja na reta gerada pelo vetor , ou seja, não está na .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta . Essa é basicamente a linha que passa pela origem e pelo vetor . Qualquer vetor nessa reta pode ser escrito como um múltiplo escalar de , ou seja, para algum número real .

Passo 3

Agora, queremos encontrar um vetor que está em , ou seja, que satisfaz , mas que não pode ser escrito como . Para garantir isso, vamos escolher um vetor que esteja em mas que não seja múltiplo de .

Passo 4

Vamos tentar encontrar uma solução para a equação 2x + 5(0) - 3(1) = 0 . Podemos parametrizar essa equação escolhendo valores para duas variáveis e resolvendo para a terceira. Por exemplo, vamos escolher 2x - 3 = 0 e 2x = 3 .
Substituindo na equação:
x = 32

Passo 5

Então, com u = ( 32, 0, 1 ) e , encontramos o vetor:

Passo 6

Agora, precisamos garantir que não está na reta . Isso significa que não existe um número real tal que . Como não temos informação específica sobre , assumimos que foi escolhida de forma que não seja um múltiplo direto de .

Resposta

Um vetor que pertence a mas não está na reta é .

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