Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear dada pela matriz A=(ccc2 & 3 & 1 3 & 5 & 1 -2 & -4 & 0).
(a) T é injetora? Justifique. Caso T não seja injetora, determine um elemento não nulo no espaço nulo da matriz A.
(b) T é sobrejetora? Justifique. Caso T não seja sobrejetora, determine um elemento em R^3 backslash Im(T).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos uma transformação linear A = 2 & 3 & 1 3 & 5 & 1 -2 & -4 & 0 representada pela matriz
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre transformações lineares, injetividade e sobrejetividade. Precisamos verificar se é injetora e sobrejetora, e se não for, encontrar os elementos solicitados.

Passo 2

Vamos começar verificando se é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor no núcleo (espaço nulo) é o vetor zero. Para isso, precisamos encontrar o núcleo de , ou seja, resolver .

Passo 3

Montamos o sistema de equações a partir da matriz 2x + 3y + z = 0 3x + 5y + z = 0 -2x - 4y = 0 :
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 4

Da terceira equação, temos:
-2x - 4y = 0 implies x = -2y
Substituímos 2(-2y) + 3y + z = 0 implies -4y + 3y + z = 0 implies -y + z = 0 implies z = y na primeira equação:
3(-2y) + 5y + y = 0 implies -6y + 5y + y = 0 implies 0 = 0
Agora, substituímos e na segunda equação:
Isso significa que temos uma solução livre para . Podemos escolher , onde é um parâmetro real.

Passo 5

Então, a solução geral do sistema é:
x = -2t, y = t, z = t
Isso pode ser escrito como:
x = t -2 1 1
Assim, o núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor .

Passo 6

Como o núcleo de contém vetores diferentes de zero (por exemplo, ), a transformação não é injetora.

Passo 7

Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se a imagem de for todo o espaço de chegada, ou seja, . Para isso, precisamos verificar o posto (rank) da matriz .

Passo 8

Calculamos o determinante de det(A) = 2(5 cdot 0 - 1 cdot (-4)) - 3(3 cdot 0 - 1 cdot (-2)) + 1(3 cdot (-4) - 5 cdot (-2)) = 2(0 + 4) - 3(0 + 2) + 1(-12 + 10) = 2 cdot 4 - 3 cdot 2 + 1 cdot (-2) = 8 - 6 - 2 = 0 :
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível e, portanto, seu posto é menor que 3.

Passo 9

Como o posto de é menor que 3, a imagem de não é todo , ou seja, não é sobrejetora.

Resposta

(a) não é injetora. Um elemento não nulo no espaço nulo de é .
(b) não é sobrejetora.

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