Seja uma transformação linear dada pela matriz .
(a) T é injetora? Justifique. Caso T não seja injetora, determine um elemento não nulo no espaço nulo da matriz A.
(b) T é sobrejetora? Justifique. Caso T não seja sobrejetora, determine um elemento em R^3 backslashIm(T).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos uma transformação linear A = 2 & 3 & 1 3 & 5 & 1 -2 & -4 & 0 representada pela matriz
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre transformações lineares, injetividade e sobrejetividade. Precisamos verificar se é injetora e sobrejetora, e se não for, encontrar os elementos solicitados.
Passo 2
Vamos começar verificando se é injetora. Uma transformação linear é injetora se o único vetor no núcleo (espaço nulo) é o vetor zero. Para isso, precisamos encontrar o núcleo de , ou seja, resolver .
Passo 3
Montamos o sistema de equações a partir da matriz 2x + 3y + z = 0 3x + 5y + z = 0 -2x - 4y = 0 :
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 4
Da terceira equação, temos:
-2x - 4y = 0 implies x = -2y
Substituímos 2(-2y) + 3y + z = 0 implies -4y + 3y + z = 0 implies -y + z = 0 implies z = y na primeira equação:
3(-2y) + 5y + y = 0 implies -6y + 5y + y = 0 implies 0 = 0
Agora, substituímos e na segunda equação:
Isso significa que temos uma solução livre para . Podemos escolher , onde é um parâmetro real.
Passo 5
Então, a solução geral do sistema é:
x = -2t, y = t, z = t
Isso pode ser escrito como:
x = t -2 1 1
Assim, o núcleo de é o conjunto de todos os múltiplos do vetor .
Passo 6
Como o núcleo de contém vetores diferentes de zero (por exemplo, ), a transformação não é injetora.
Passo 7
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se a imagem de for todo o espaço de chegada, ou seja, . Para isso, precisamos verificar o posto (rank) da matriz .