Considere o subconjunto
e
.
b) Qual é a dimensão e uma base de
?
b) Qual é a dimensão e uma base de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um conjunto
que é definido por certas condições nas coordenadas
,
e
no espaço tridimensional
. O que a gente precisa descobrir é qual a dimensão desse conjunto
e encontrar uma base para ele. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que define o conjunto
. Ele é dado por:
Isso significa que qualquer ponto em
deve satisfazer as duas equações acima. Vamos usar essas equações para expressar
e
em termos de
.
Passo 3
Vamos começar isolando uma das variáveis. A segunda equação já nos dá
. Podemos expressar
em termos de
:
Agora, usando a primeira equação
, já temos
também em termos de
. Então, todas as coordenadas
,
e
podem ser escritas em função de
.
Passo 4
Com isso, podemos escrever qualquer vetor em
usando
como parâmetro. Vamos chamar
de
para facilitar:
Isso mostra que todos os vetores em
são múltiplos do vetor
. Ou seja, podemos reescrever o conjunto
como:
Passo 5
Agora, percebemos que
é gerado por apenas um vetor, que é
. Isso significa que a base de
é o conjunto que contém apenas esse vetor. Como há apenas um vetor na base, a dimensão de
é 1.
Resposta
A dimensão de
é 1 e uma base para
é
.