Considere o subconjunto S=(x, y, z) in R^3 mid x=3 y e y=-z.
b) Qual é a dimensão e uma base de S ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um conjunto que é definido por certas condições nas coordenadas , e no espaço tridimensional . O que a gente precisa descobrir é qual a dimensão desse conjunto e encontrar uma base para ele. Para isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que define o conjunto S = (x, y, z) in R^3 mid x = 3y e y = -z . Ele é dado por:
Isso significa que qualquer ponto em deve satisfazer as duas equações acima. Vamos usar essas equações para expressar e em termos de .

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis. A segunda equação já nos dá z = -y . Podemos expressar em termos de :
Agora, usando a primeira equação , já temos também em termos de . Então, todas as coordenadas , e podem ser escritas em função de .

Passo 4

Com isso, podemos escrever qualquer vetor em (x, y, z) = (3t, t, -t) usando S = t cdot (3, 1, -1) mid t in R como parâmetro. Vamos chamar de para facilitar:
Isso mostra que todos os vetores em são múltiplos do vetor . Ou seja, podemos reescrever o conjunto como:

Passo 5

Agora, percebemos que é gerado por apenas um vetor, que é . Isso significa que a base de é o conjunto que contém apenas esse vetor. Como há apenas um vetor na base, a dimensão de é 1.

Resposta

A dimensão de é 1 e uma base para é .

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