Responda ao que se pede em cada item:
b) Considere S=(4 s,-3 s,-t) in R^3. Determine uma base para S e a sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto e precisa encontrar uma base para esse conjunto e descobrir qual é a sua dimensão. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de subespaços vetoriais, base e dimensão. Para resolver isso, vamos identificar vetores que geram e ver se eles são independentes, formando assim uma base. No final, a quantidade desses vetores vai nos dar a dimensão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor como é o conjunto (4s, -3s, -t) = s cdot (4, -3, 0) + t cdot (0, 0, -1) . Cada vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais. Isso significa que podemos separar os termos com e :
Aqui, a gente está expressando cada vetor de como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores que encontramos formam uma base para . Para isso, eles precisam ser linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Olha só:
  • O vetor tem componentes nas primeiras duas posições e zero na terceira.
  • O vetor só tem componente na terceira posição.
Como eles não têm componentes comuns além de zero, claro que nenhum pode ser obtido a partir do outro multiplicando por um número. Portanto, eles são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos dois vetores linearmente independentes que geram o conjunto , podemos concluir que eles formam uma base para . E a dimensão de um espaço é justamente o número de vetores na sua base.

Resposta

Uma base para é formada pelos vetores e a dimensão de é 2.

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