Responda ao que se pede em cada item:
b) Considere
. Determine uma base para
e a sua dimensão.
b) Considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
e precisa encontrar uma base para esse conjunto e descobrir qual é a sua dimensão. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de subespaços vetoriais, base e dimensão. Para resolver isso, vamos identificar vetores que geram
e ver se eles são independentes, formando assim uma base. No final, a quantidade desses vetores vai nos dar a dimensão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor como é o conjunto
. Cada vetor em
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. Isso significa que podemos separar os termos com
e
:
Aqui, a gente está expressando cada vetor de
como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses vetores que encontramos formam uma base para
. Para isso, eles precisam ser linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro.
Olha só:
- O vetor
tem componentes nas primeiras duas posições e zero na terceira. - O vetor
só tem componente na terceira posição.
Como eles não têm componentes comuns além de zero, claro que nenhum pode ser obtido a partir do outro multiplicando por um número. Portanto, eles são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos dois vetores linearmente independentes que geram o conjunto
, podemos concluir que eles formam uma base para
. E a dimensão de um espaço é justamente o número de vetores na sua base.
Resposta
Uma base para
é formada pelos vetores
e a dimensão de
é 2.