Teorema 14 (Cayley-Hamilton) Sejam T: V V um operador linear definido sobre um espaço vetorial real de dimensão finita e pT(x) o polinômio característico de T. Então pT(T)=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. O enunciado fala sobre o Teorema de Cayley-Hamilton, que é um conceito da Álgebra Linear. Esse teorema nos diz que toda matriz quadrada satisfaz o seu próprio polinômio característico. Para entender e resolver isso, vamos precisar saber sobre operadores lineares, polinômios característicos e como aplicar uma matriz dentro de um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Em termos simples, um operador linear é uma função que pega vetores de um espaço vetorial e os transforma em outros vetores do mesmo espaço, mantendo as operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, o polinômio característico de um operador linear (ou de uma matriz) é um polinômio que é obtido a partir do determinante da matriz menos um múltiplo da matriz identidade. Matematicamente, para uma matriz pA(x) = det(xI - A) , o polinômio característico é dado por:
onde é a matriz identidade.

Passo 4

O Teorema de Cayley-Hamilton nos diz que se você substituir a matriz pA(A) = 0 no seu próprio polinômio característico, o resultado será a matriz zero. Ou seja:
Isso significa que, ao aplicar o polinômio característico à matriz, todas as entradas resultantes serão zero.

Passo 5

Vamos ver um exemplo prático para esclarecer. Suponha que temos uma matriz A = 2 & 1 1 & 2 :
pA(x) = det(xI - A) = det x-2 & -1 -1 & x-2 = (x-2)^2 - (-1)(-1) = x^2 - 4x + 3
Primeiro, encontramos o polinômio característico:
pA(A) = A^2 - 4A + 3I
Segundo, aplicamos A^2 = 2 & 1 1 & 2 2 & 1 1 & 2 = 5 & 4 4 & 5 nesse polinômio:
A^2 - 4A + 3I = 5 & 4 4 & 5 - 4 2 & 1 1 & 2 + 3 1 & 0 0 & 1 = 5-8+3 & 4-4+0 4-4+0 & 5-8+3 = 0 & 0 0 & 0
Calculando :
Agora, substituindo na expressão:
Como esperado, .

Resposta

O Teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz quadrada satisfaz o seu próprio polinômio característico. No exemplo mostrado, aplicamos o polinômio característico da matriz e verificamos que o resultado foi a matriz zero, confirmando o teorema.

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