Teorema 14 (Cayley-Hamilton) Sejam
um operador linear definido sobre um espaço vetorial real de dimensão finita e
o polinômio característico de
. Então
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. O enunciado fala sobre o Teorema de Cayley-Hamilton, que é um conceito da Álgebra Linear. Esse teorema nos diz que toda matriz quadrada satisfaz o seu próprio polinômio característico. Para entender e resolver isso, vamos precisar saber sobre operadores lineares, polinômios característicos e como aplicar uma matriz dentro de um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Em termos simples, um operador linear é uma função que pega vetores de um espaço vetorial e os transforma em outros vetores do mesmo espaço, mantendo as operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, o polinômio característico de um operador linear (ou de uma matriz) é um polinômio que é obtido a partir do determinante da matriz menos um múltiplo da matriz identidade. Matematicamente, para uma matriz
, o polinômio característico
é dado por:
onde
é a matriz identidade.
Passo 4
O Teorema de Cayley-Hamilton nos diz que se você substituir a matriz
no seu próprio polinômio característico, o resultado será a matriz zero. Ou seja:
Isso significa que, ao aplicar o polinômio característico à matriz, todas as entradas resultantes serão zero.
Passo 5
Vamos ver um exemplo prático para esclarecer. Suponha que temos uma matriz
:
Primeiro, encontramos o polinômio característico:
Segundo, aplicamos
nesse polinômio:
Calculando
:
Agora, substituindo na expressão:
Como esperado,
.
Resposta
O Teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz quadrada satisfaz o seu próprio polinômio característico. No exemplo mostrado, aplicamos o polinômio característico da matriz
e verificamos que o resultado foi a matriz zero, confirmando o teorema.