Considere o subespaço de P3(R) gerado pelos vetores p1(t)=1-t, p2(t)=t^2+t^3, p3(t)=-2+2 t+t^2+t^3 e p4(t)=1.
a) O vetor q(t)=2-3 t+2 t^2+2 t^3 in[p1, p2, p3, p4] ? Justifique.
b) Exiba uma base para [p1, p2, p3, p4]. Qual é a dimensão?
c) [p1, p2, p3, p4]=P3(R) ? Por quê?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem um subespaço de gerado por quatro polinômios: , , e . \
A matéria aqui envolve espaços vetoriais e subespaços, especialmente no contexto de polinômios. Vamos precisar entender como combinar esses polinômios e verificar se um determinado polinômio pertence a esse subespaço, além de encontrar uma base e a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Vamos resolver a parte a): Ver se o vetor a(1 - t) + b(t^2 + t^3) + c(-2 + 2t + t^2 + t^3) + d(1) = 2 - 3t + 2t^2 + 2t^3 pertence ao subespaço gerado por . \
Para fazer isso, precisamos verificar se existe uma combinação linear dos polinômios que resulte em . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:
Vamos desenvolver essa expressão e igualar os coeficientes de cada potência de .

Passo 3

Expandindo a combinação linear:
a(1) - a t + b t^2 + b t^3 + c(-2) + c(2t) + c t^2 + c t^3 + d(1) = 2 - 3t + 2t^2 + 2t^3
Agrupando os termos semelhantes:
(a - 2c + d) + (-a + 2c)t + (b + c)t^2 + (b + c)t^3 = 2 - 3t + 2t^2 + 2t^3
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a - 2c + d = 2 - a + 2c = -3 b + c = 2 b + c = 2 :
Observamos que as últimas duas equações são iguais, o que simplifica nosso sistema.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
  1. Da terceira equação: (2c + 3) - 2c + d = 2 3 + d = 2 d = -1 a = 2c + 3 b = 2 - c d = -1 .
  2. Da segunda equação: a = 3 b = 2 c = 0 d = -1 .
  3. Substituindo e na primeira equação:
Agora, temos:
Precisamos escolher um valor para . Vamos escolher (mas qualquer valor serviria, já que há infinitas soluções).
Então:

Passo 5

Com esses valores, a combinação linear fica:
3(1 - t) + 2(t^2 + t^3) + 0(-2 + 2t + t^2 + t^3) -1(1) = 3 - 3t + 2t^2 + 2t^3 -1 = 2 - 3t + 2t^2 + 2t^3
Que é exatamente . Portanto, encontramos uma combinação linear que gera .

Resposta

a) Sim, o vetor pertence ao subespaço gerado por , pois existe uma combinação linear deles que resulta em .

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