Considere o subespaço de gerado pelos vetores e .
a) O vetor ? Justifique.
b) Exiba uma base para . Qual é a dimensão?
c) ? Por quê?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem um subespaço de gerado por quatro polinômios: , , e . \
A matéria aqui envolve espaços vetoriais e subespaços, especialmente no contexto de polinômios. Vamos precisar entender como combinar esses polinômios e verificar se um determinado polinômio pertence a esse subespaço, além de encontrar uma base e a dimensão desse subespaço.
Passo 2
Vamos resolver a parte a): Ver se o vetor pertence ao subespaço gerado por . \
Para fazer isso, precisamos verificar se existe uma combinação linear dos polinômios que resulte em . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:
Vamos desenvolver essa expressão e igualar os coeficientes de cada potência de .
Passo 3
Expandindo a combinação linear:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de :
Observamos que as últimas duas equações são iguais, o que simplifica nosso sistema.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:
Da terceira equação: (2c + 3) - 2c + d = 2 3 + d = 2 d = -1 → a = 2c + 3 b = 2 - c d = -1 .
Da segunda equação: a = 3 b = 2 c = 0 d = -1 → .
Substituindo e na primeira equação:
Agora, temos:
Precisamos escolher um valor para . Vamos escolher (mas qualquer valor serviria, já que há infinitas soluções).