Seja
uma matriz quadrada, mostre que:
(b) Se
é nilpotente então
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que se
é uma matriz nilpotente, então o determinante de
é zero. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes nilpotentes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz
é nilpotente se existe um número inteiro positivo
tal que
, onde
é a matriz nula.
Passo 3
Agora, vamos pensar no determinante. Uma propriedade importante dos determinantes é que
para quaisquer matrizes quadradas
e
do mesmo tamanho. Além disso, sabemos que
.
Passo 4
Considerando que
, podemos aplicar a propriedade do determinante a ambos os lados da equação:
Passo 5
Sabemos que
, então:
Passo 6
Usando a propriedade do determinante que mencionei antes,
. Assim, temos:
Passo 7
A única forma de um número real elevado a uma potência positiva ser zero é se o número em si for zero. Portanto:
Resposta
Se
é uma matriz nilpotente, então o determinante de
é zero, ou seja,
.