Seja A uma matriz quadrada, mostre que:
(b) Se A é nilpotente então det A=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que se é uma matriz nilpotente, então o determinante de é zero. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes nilpotentes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser nilpotente. Uma matriz é nilpotente se existe um número inteiro positivo tal que , onde é a matriz nula.

Passo 3

Agora, vamos pensar no determinante. Uma propriedade importante dos determinantes é que para quaisquer matrizes quadradas e do mesmo tamanho. Além disso, sabemos que .

Passo 4

Considerando que det(A^k) = det(0) , podemos aplicar a propriedade do determinante a ambos os lados da equação:

Passo 5

Sabemos que det(A^k) = 0 , então:

Passo 6

Usando a propriedade do determinante que mencionei antes, (det(A))^k = 0 . Assim, temos:

Passo 7

A única forma de um número real elevado a uma potência positiva ser zero é se o número em si for zero. Portanto:
det(A) = 0

Resposta

Se é uma matriz nilpotente, então o determinante de é zero, ou seja, .

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