Dados o ponto
e a reta
, considere a distância
.
Se
é o plano que passa por
e é ortogonal a
, ache uma equação cartesiana de
e mostre que
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto
e uma reta
dada por
, onde
é um número real. O exercício pede para a gente encontrar a distância entre o ponto
e qualquer ponto
na reta
. Além disso, queremos achar a equação do plano
que passa por
e é perpendicular à reta
, e mostrar que a interseção desse plano com a reta
é apenas um ponto
.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como distância ponto-reta, equação de plano e vetores diretores. Vamos precisar entender vetores normais, produto escalar e como encontrar a equação do plano usando um ponto e um vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta
. A equação paramétrica dela é dada por
. Isso significa que qualquer ponto
na reta pode ser escrito como
para algum valor de
.
O vetor diretor da reta
é aquele que multiplica o parâmetro
, ou seja,
. Esse vetor indica a direção da reta.
Passo 3
Agora, queremos achar o plano
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
. Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta
será o vetor normal do plano, ou seja,
.
A equação geral de um plano é dada por:
onde
é o vetor normal,
é um ponto qualquer no plano e
é um ponto conhecido no plano (no caso,
).
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula para encontrar a equação do plano
. Primeiro, substituímos
e
:
Isso se expande para:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação cartesiana do plano
é:
Passo 6
Agora, vamos mostrar que a interseção do plano
com a reta
é um único ponto
. Para isso, substituímos as coordenadas de
na equação de
e resolvemos para
.
Substituindo
,
,
na equação do plano:
Simplificando:
Passo 7
Com
, substituímos de volta na equação paramétrica da reta
para encontrar as coordenadas de
:
Portanto, o ponto
é
.
Resposta
A equação cartesiana do plano
é
, e a interseção entre
e a reta
é o único ponto
.