Dados o ponto P=(2,-1,3) e a reta L: X=(3 t,-7+5 t, 2+2 t), t in R, considere a distância d(P, X), com X in L.
Se Pi é o plano que passa por P e é ortogonal a L, ache uma equação cartesiana de Pi e mostre que Pi cap L=M

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto P = (2, -1, 3) e uma reta L dada por X = (3t, -7 + 5t, 2 + 2t), onde t é um número real. O exercício pede para a gente encontrar a distância entre o ponto P e qualquer ponto X na reta L. Além disso, queremos achar a equação do plano Pi que passa por P e é perpendicular à reta L, e mostrar que a interseção desse plano com a reta L é apenas um ponto M.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como distância ponto-reta, equação de plano e vetores diretores. Vamos precisar entender vetores normais, produto escalar e como encontrar a equação do plano usando um ponto e um vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta L. A equação paramétrica dela é dada por X = (3t, -7 + 5t, 2 + 2t). Isso significa que qualquer ponto X na reta pode ser escrito como X(t) = (3t, -7 + 5t, 2 + 2t) para algum valor de t.
O vetor diretor da reta L é aquele que multiplica o parâmetro t, ou seja, d = (3, 5, 2). Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, queremos achar o plano Pi que passa pelo ponto P = (2, -1, 3) e é perpendicular à reta L. Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta d = (3, 5, 2) será o vetor normal do plano, ou seja, n = (3, 5, 2).
A equação geral de um plano é dada por:
n cdot (r - r0) = 0
onde n é o vetor normal, r é um ponto qualquer no plano e r0 é um ponto conhecido no plano (no caso, P).

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula para encontrar a equação do plano Pi. Primeiro, substituímos n = (3, 5, 2) e r0 = (2, -1, 3):
(3, 5, 2) cdot ( (x, y, z) - (2, -1, 3) ) = 0
Isso se expande para:
3(x - 2) + 5(y + 1) + 2(z - 3) = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
3x - 6 + 5y + 5 + 2z - 6 = 0 3x + 5y + 2z - 7 = 0
Então, a equação cartesiana do plano Pi é:
3x + 5y + 2z - 7 = 0

Passo 6

Agora, vamos mostrar que a interseção do plano Pi com a reta L é um único ponto M. Para isso, substituímos as coordenadas de L na equação de Pi e resolvemos para t.
Substituindo x = 3t, y = -7 + 5t, z = 2 + 2t na equação do plano:
3(3t) + 5(-7 + 5t) + 2(2 + 2t) - 7 = 0
Simplificando:
9t - 35 + 25t + 4 + 4t - 7 = 0 (9t + 25t + 4t) + (-35 + 4 -7) = 0 38t - 38 = 0 38t = 38 t = 1

Passo 7

Com t = 1, substituímos de volta na equação paramétrica da reta L para encontrar as coordenadas de M:
X(1) = (3 times 1, -7 + 5 times 1, 2 + 2 times 1) = (3, -2, 4)
Portanto, o ponto M é (3, -2, 4).

Resposta

A equação cartesiana do plano Pi é 3x + 5y + 2z - 7 = 0, e a interseção entre Pi e a reta L é o único ponto M = (3, -2, 4).

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