Prove, usando um sistema de eixos conveniente, os seguintes resultados geométricos:
a) num triângulo retângulo, , onde é a altura relativa à hipotenusa e e são as medidas dos catetos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo e precisa provar que , onde é a altura relativa à hipotenusa, e e são os catetos. Para isso, vamos usar um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o triângulo retângulo no plano cartesiano. Vamos posicionar o triângulo de forma que o ângulo reto fique na origem . Vamos colocar o cateto ao longo do eixo e o cateto ao longo do eixo . Assim, os vértices do triângulo ficam em , e .
Passo 3
Agora, a hipotenusa vai conectar os pontos e . A equação dessa hipotenusa pode ser encontrada usando a fórmula da reta que passa por dois pontos. A inclinação da reta é e o intercepto no eixo é . Então, a equação da hipotenusa é:
Passo 4
A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a origem e a hipotenusa. Para calcular essa distância, usamos a fórmula da distância de um ponto à reta:
Onde a equação da reta está na forma . Reescrevendo a equação da hipotenusa:
Portanto, , e .
Passo 5
Substituindo na fórmula da distância:
Passo 6
Sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que em um triângulo retângulo:
a^2 + b^2 = c^2
Onde h = abc é a hipotenusa. Portanto, podemos reescrever como:
Passo 7
Agora, vamos elevar ambos os lados da equação de h^2 = a^2 b^2c^2 ao quadrado:
1h^2 = c^2a^2 b^2
Tomando o inverso de ambos os lados:
Passo 8
Substituindo 1h^2 = a^2 + b^2a^2 b^2 = a^2a^2 b^2 + b^2a^2 b^2 = 1b^2 + 1a^2 pelo valor do Teorema de Pitágoras: