1. Prove, usando um sistema de eixos conveniente, os seguintes resultados geométricos:
    a) num triângulo retângulo, 1h^2=1a^2+1b^2, onde h é a altura relativa à hipotenusa e a e b são as medidas dos catetos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo e precisa provar que , onde é a altura relativa à hipotenusa, e e são os catetos. Para isso, vamos usar um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo retângulo no plano cartesiano. Vamos posicionar o triângulo de forma que o ângulo reto fique na origem . Vamos colocar o cateto ao longo do eixo e o cateto ao longo do eixo . Assim, os vértices do triângulo ficam em , e .

Passo 3

Agora, a hipotenusa vai conectar os pontos y = -bax + b e . A equação dessa hipotenusa pode ser encontrada usando a fórmula da reta que passa por dois pontos. A inclinação da reta é e o intercepto no eixo é . Então, a equação da hipotenusa é:

Passo 4

A altura h = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 relativa à hipotenusa é a distância entre a origem bax + y - b = 0 e a hipotenusa. Para calcular essa distância, usamos a fórmula da distância de um ponto à reta:
Onde a equação da reta está na forma . Reescrevendo a equação da hipotenusa:
Portanto, , e .

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:
h = |ba cdot 0 + 1 cdot 0 - b|raiz(ba)^2 + 1^2 = | -b |raizb^2a^2 + 1 = braizb^2 + a^2a^2 = braiza^2 + b^2a = abraiza^2 + b^2

Passo 6

Sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que em um triângulo retângulo:
a^2 + b^2 = c^2
Onde h = abc é a hipotenusa. Portanto, podemos reescrever como:

Passo 7

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação de h^2 = a^2 b^2c^2 ao quadrado:
1h^2 = c^2a^2 b^2
Tomando o inverso de ambos os lados:

Passo 8

Substituindo 1h^2 = a^2 + b^2a^2 b^2 = a^2a^2 b^2 + b^2a^2 b^2 = 1b^2 + 1a^2 pelo valor do Teorema de Pitágoras:

Resposta

Portanto, provamos que:
1h^2 = 1a^2 + 1b^2

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