1. Prove, usando um sistema de eixos conveniente, os seguintes resultados geométricos:
    a) num triângulo retângulo, , onde é a altura relativa à hipotenusa e e são as medidas dos catetos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo e precisa provar que , onde é a altura relativa à hipotenusa, e e são os catetos. Para isso, vamos usar um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo retângulo no plano cartesiano. Vamos posicionar o triângulo de forma que o ângulo reto fique na origem . Vamos colocar o cateto ao longo do eixo e o cateto ao longo do eixo . Assim, os vértices do triângulo ficam em , e .

Passo 3

Agora, a hipotenusa vai conectar os pontos e . A equação dessa hipotenusa pode ser encontrada usando a fórmula da reta que passa por dois pontos. A inclinação da reta é e o intercepto no eixo é . Então, a equação da hipotenusa é:

Passo 4

A altura relativa à hipotenusa é a distância entre a origem e a hipotenusa. Para calcular essa distância, usamos a fórmula da distância de um ponto à reta:
Onde a equação da reta está na forma . Reescrevendo a equação da hipotenusa:
Portanto, , e .

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:

Passo 6

Sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que em um triângulo retângulo:
Onde é a hipotenusa. Portanto, podemos reescrever como:

Passo 7

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação de ao quadrado:
Tomando o inverso de ambos os lados:

Passo 8

Substituindo pelo valor do Teorema de Pitágoras:

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Mostre que os pontos são vértices de um triângulo retângulo. Em seguida, calcule a área desse triângulo.
Considere o subespaço definido por: . Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
é tal que e Imagem . Se , calcule a matriz . Assinale abaixo o valor da entrada :
(A) 8
(B) 9
© 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15
(I) Não sei