Mostre que os pontos são vértices de um triângulo retângulo. Em seguida, calcule a área desse triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no plano: , e . A missão é mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e depois calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as distâncias entre cada par de pontos para saber os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos e é:

Passo 3

Calculando a distância entre e :

Passo 4

Calculando a distância entre e :

Passo 5

Calculando a distância entre e :

Passo 6

Agora, vamos verificar se esses comprimentos satisfazem o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Vamos ver se:
Calculando:
Não bate, então tentamos outra combinação. Vamos testar se:
Funcionou!

Passo 7

Isso significa que o ângulo formado em é o ângulo reto, já que é a hipotenusa.

Passo 8

Agora, vamos calcular a área do triângulo. A fórmula da área de um triângulo retângulo é:
Á
Aqui, os catetos são e .

Passo 9

Substituindo na fórmula:
Á

Resposta

Os pontos , e formam um triângulo retângulo com área igual a 29 unidades quadradas.

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Considere o subespaço definido por: . Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Mostre que os pontos formam um triângulo retângulo isósceles.
  1. Prove, usando um sistema de eixos conveniente, os seguintes resultados geométricos:
    a) num triângulo retângulo, , onde é a altura relativa à hipotenusa e e são as medidas dos catetos.
Seja o ângulo entre os vetores e em . Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei