Mostre que os pontos A=(7,5), B=(2,3), C=(6,-7) são vértices de um triângulo retângulo. Em seguida, calcule a área desse triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no plano: , e . A missão é mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e depois calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as distâncias entre cada par de pontos para saber os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e é:

Passo 3

Calculando a distância entre dAB = raiz(2 - 7)^2 + (3 - 5)^2 = raiz(-5)^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29 e :

Passo 4

Calculando a distância entre dBC = raiz(6 - 2)^2 + (-7 - 3)^2 = raiz4^2 + (-10)^2 = raiz16 + 100 = raiz116 = 2raiz29 e :

Passo 5

Calculando a distância entre dAC = raiz(6 - 7)^2 + (-7 - 5)^2 = raiz(-1)^2 + (-12)^2 = raiz1 + 144 = raiz145 e :

Passo 6

Agora, vamos verificar se esses comprimentos satisfazem o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Vamos ver se:
dBC^2 = dAB^2 + dAC^2
Calculando:
(2raiz29)^2 = 4 times 29 = 116
raiz29^2 + raiz145^2 = 29 + 145 = 174
Não bate, então tentamos outra combinação. Vamos testar se:
dAC^2 = dAB^2 + dBC^2
145 = 29 + 116 implies 145 = 145
Funcionou!

Passo 7

Isso significa que o ângulo formado em é o ângulo reto, já que é a hipotenusa.

Passo 8

Agora, vamos calcular a área do triângulo. A fórmula da área de um triângulo retângulo é:
Área = 12 times cateto 1 times cateto 2 Á
Aqui, os catetos são e .

Passo 9

Substituindo na fórmula:
Área = 12 times raiz29 times 2raiz29 = 12 times 2 times 29 = 29 Á

Resposta

Os pontos , e formam um triângulo retângulo com área igual a 29 unidades quadradas.

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