Mostre que os pontos
são vértices de um triângulo retângulo. Em seguida, calcule a área desse triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no plano:
,
e
. A missão é mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e depois calcular a área desse triângulo. Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a distância entre pontos e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as distâncias entre cada par de pontos para saber os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos
e
é:
Passo 3
Calculando a distância entre
e
:
Passo 4
Calculando a distância entre
e
:
Passo 5
Calculando a distância entre
e
:
Passo 6
Agora, vamos verificar se esses comprimentos satisfazem o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Vamos ver se:
Calculando:
Não bate, então tentamos outra combinação. Vamos testar se:
Funcionou!
Passo 7
Isso significa que o ângulo formado em
é o ângulo reto, já que
é a hipotenusa.
Passo 8
Agora, vamos calcular a área do triângulo. A fórmula da área de um triângulo retângulo é:
Aqui, os catetos são
e
.
Passo 9
Substituindo na fórmula:
Resposta
Os pontos
,
e
formam um triângulo retângulo com área igual a 29 unidades quadradas.