Considere o subespaço H subset R^4 definido por:
H=span(-1,2,0,0),(1,0,0,-2),(0,-6,0,6). Qual dos conjuntos abaixo é base de H^perp (complemento ortogonal de H )?
(A) (6,3,-2,3),(6,3,-4,3)
(B) (6,3,-2,3)
© (3,2,2,3),(3,-3,3,3)
(D) (6,3,-4,3)
(E) (3,2,2,3)
(F) (3,-3,3,3)
(G) (6,3,-2,3),(3,-3,3,3)
(H) (3,2,2,3),(6,3,-4,3)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o complemento ortogonal de um subespaço em . Pra isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como encontrar vetores que sejam ortogonais a todos os vetores que geram . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Ele é formado por todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Ou seja, se é gerado por certos vetores, qualquer vetor em precisa ter produto escalar zero com cada um desses vetores.

Passo 3

O subespaço x cdot v1 = 0 x cdot v2 = 0 x cdot v3 = 0 é gerado pelos vetores , e . Precisamos encontrar todos os vetores em que satisfazem:

Passo 4

Agora, vamos escrever essas equações de produto escalar:

Passo 5

Vamos simplificar essas equações:

Passo 6

A partir das equações, vemos que e . Então, podemos expressar . O componente não aparece em nenhuma equação, o que significa que ele pode ser qualquer valor real.

Passo 7

Então, os vetores x = (2x4, x4, x3, x4) que estão em x = x4 cdot (2,1,0,1) + x3 cdot (0,0,1,0) têm a forma:
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Isso mostra que uma base para é formada pelos vetores e . Contudo, é preciso verificar as opções dadas no enunciado para ver qual corresponde a essa base ou a uma base equivalente.

Passo 9

Analisando as opções, vemos que nenhuma contém exatamente ou . No entanto, podemos verificar se alguma combinação nas opções é equivalente a nossa base encontrada. Observando todas as alternativas, a opção correta que representa uma base para é:

Resposta

(G)

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