Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o complemento ortogonal de um subespaço em . Pra isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como encontrar vetores que sejam ortogonais a todos os vetores que geram . Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Ele é formado por todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Ou seja, se é gerado por certos vetores, qualquer vetor em precisa ter produto escalar zero com cada um desses vetores.
Passo 3
O subespaço é gerado pelos vetores , e . Precisamos encontrar todos os vetores em que satisfazem:
Passo 4
Agora, vamos escrever essas equações de produto escalar:
Passo 5
Vamos simplificar essas equações:
Passo 6
A partir das equações, vemos que e . Então, podemos expressar . O componente não aparece em nenhuma equação, o que significa que ele pode ser qualquer valor real.
Passo 7
Então, os vetores que estão em têm a forma:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Isso mostra que uma base para é formada pelos vetores e . Contudo, é preciso verificar as opções dadas no enunciado para ver qual corresponde a essa base ou a uma base equivalente.
Passo 9
Analisando as opções, vemos que nenhuma contém exatamente ou . No entanto, podemos verificar se alguma combinação nas opções é equivalente a nossa base encontrada. Observando todas as alternativas, a opção correta que representa uma base para é: