Considere o subespaço definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma base para o complemento ortogonal de um subespaço em . Pra isso, vamos precisar entender o que é complemento ortogonal e como encontrar vetores que sejam ortogonais a todos os vetores que geram . Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Ele é formado por todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Ou seja, se é gerado por certos vetores, qualquer vetor em precisa ter produto escalar zero com cada um desses vetores.

Passo 3

O subespaço é gerado pelos vetores , e . Precisamos encontrar todos os vetores em que satisfazem:

Passo 4

Agora, vamos escrever essas equações de produto escalar:

Passo 5

Vamos simplificar essas equações:

Passo 6

A partir das equações, vemos que e . Então, podemos expressar . O componente não aparece em nenhuma equação, o que significa que ele pode ser qualquer valor real.

Passo 7

Então, os vetores que estão em têm a forma:
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

Isso mostra que uma base para é formada pelos vetores e . Contudo, é preciso verificar as opções dadas no enunciado para ver qual corresponde a essa base ou a uma base equivalente.

Passo 9

Analisando as opções, vemos que nenhuma contém exatamente ou . No entanto, podemos verificar se alguma combinação nas opções é equivalente a nossa base encontrada. Observando todas as alternativas, a opção correta que representa uma base para é:

Resposta

(G)

Exercícios relacionados

Sejam e , d,
c) Nostre que .
Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
  • para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em da parábola que interpola os pon- e . Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos e ou utilizandose e . Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, e (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
1


0

(B)

0

0

©


(D)
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
e)
Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e . O modelo matemático para esta dependência é , onde os parâmetros e dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de para diferentes configurações de e e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
-3 1 -35.4
-2 4 -0.4
-1 1 5.5
0 3 16.1
1 -5 -19.4
2 -1 -18.4
3 -2 -46.9
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros e de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de previsto pelo modelo ajustado para . Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -287.0
(B) -286.0
© -285.0
(D) -284.0
(E) -283.0
(F) -282.0
(G) -281.0
(H) -280.0
(I) Não sei