Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [3,11], considere a seguinte malha: x0=3, x1=6, x2=7 e x3=11. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pon- tos(xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e (xi, yi) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [r-1 -45 0 0
1
34
-112
0
rr0 & 0 120 & 0 -14 & 13 -12 & 12]
(B) [r-13 -16 0 0
13
0
-421
0
rr0 & 0 16 & 0 112 & 328 -14 & 14]
© [r-1 -34 0 0
rr1 & 0 23 & 112 -215 & -16 0 & -12
r0 0 310 12]
(D)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente montar uma matriz de transformação linear que pega os valores de uma função nos pontos dados e estima as derivadas nesses mesmos pontos. A gente vai usar conceitos de derivação numérica e transformações lineares para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que estimam as derivadas nos pontos extremos e nos pontos interiores da malha de pontos fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos da malha no intervalo x0 = 3, x1 = 6, x2 = 7, x3 = 11 . Temos:
E os valores da função nesses pontos são .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas estimadas g0 = y1 - y0x1 - x0 = y1 - y06 - 3 = y1 - y03 e g3 = y3 - y2x3 - x2 = y3 - y211 - 7 = y3 - y24 nos pontos extremos usando a fórmula da inclinação da reta secante:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas estimadas gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) nos pontos interiores usando a fórmula mais complexa fornecida:
alpha1 = (x2 - x1)(x1 - x0)(x2 - x0) = (7 - 6)(6 - 3)(7 - 3) = (1)(3)(4) = 12
Onde:
alpha2 = (x3 - x2)(x2 - x1)(x3 - x1) = (11 - 7)(7 - 6)(11 - 6) = (4)(1)(5) = 20
Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos agora calcular g1 = -(x2 - x1)^2alpha1 y0 + (x2 - x1)^2 - (x1 - x0)^2alpha1 y1 + (x1 - x0)^2alpha1 y2 e g1 = -(7 - 6)^212 y0 + (7 - 6)^2 - (6 - 3)^212 y1 + (6 - 3)^212 y2 substituindo os valores na fórmula:
Para g1 = -112 y0 + 1 - 912 y1 + 912 y2 :
g1 = -112 y0 - 812 y1 + 912 y2
Substituindo os valores:
g1 = -112 y0 - 23 y1 + 34 y2
g2 = -(x3 - x2)^2alpha2 y1 + (x3 - x2)^2 - (x2 - x1)^2alpha2 y2 + (x2 - x1)^2alpha2 y3
g2 = -(11 - 7)^220 y1 + (11 - 7)^2 - (7 - 6)^220 y2 + (7 - 6)^220 y3
Simplificando:
g2 = -1620 y1 + 16 - 120 y2 + 120 y3
Para g2 = -45 y1 + 1520 y2 + 120 y3 :
g2 = -45 y1 + 34 y2 + 120 y3
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos expressar as derivadas g0 = y1 - y03 = -13 y0 + 13 y1 + 0 y2 + 0 y3 em termos de g1 = -112 y0 - 23 y1 + 34 y2 + 0 y3 :
g2 = 0 y0 - 45 y1 + 34 y2 + 120 y3
g3 = 0 y0 + 0 y1 + 14 y2 + 14 y3

Passo 7

Com isso, podemos montar a matriz de transformação T = -13 & 13 & 0 & 0 -112 & -23 & 34 & 0 0 & -45 & 34 & 120 0 & 0 & 14 & 14 que relaciona a :

Resposta

A matriz de transformação linear é:
T = -dfrac13 & dfrac13 & 0 & 0 -dfrac112 & -dfrac23 & dfrac34 & 0 0 & -dfrac45 & dfrac34 & dfrac120 0 & 0 & dfrac14 & dfrac14

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