Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente montar uma matriz de transformação linear que pega os valores de uma função nos pontos dados e estima as derivadas nesses mesmos pontos. A gente vai usar conceitos de derivação numérica e transformações lineares para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que estimam as derivadas nos pontos extremos e nos pontos interiores da malha de pontos fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos da malha no intervalo . Temos:
E os valores da função nesses pontos são .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas estimadas e nos pontos extremos usando a fórmula da inclinação da reta secante:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas estimadas e nos pontos interiores usando a fórmula mais complexa fornecida:
Onde:
Vamos calcular e :
Para :
Para :
Passo 5
Vamos agora calcular e substituindo os valores na fórmula:
Para :
Substituindo os valores:
Simplificando:
Para :
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos expressar as derivadas em termos de :
Passo 7
Com isso, podemos montar a matriz de transformação que relaciona a :