Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente montar uma matriz de transformação linear que pega os valores de uma função nos pontos dados e estima as derivadas nesses mesmos pontos. A gente vai usar conceitos de derivação numérica e transformações lineares para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que estimam as derivadas nos pontos extremos e nos pontos interiores da malha de pontos fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos da malha no intervalo x0 = 3, x1 = 6, x2 = 7, x3 = 11 . Temos:
E os valores da função nesses pontos são .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas estimadas g0 = y1 - y0x1 - x0 = y1 - y06 - 3 = y1 - y03 e g3 = y3 - y2x3 - x2 = y3 - y211 - 7 = y3 - y24 nos pontos extremos usando a fórmula da inclinação da reta secante:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas estimadas gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) nos pontos interiores usando a fórmula mais complexa fornecida: