Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
  • para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em da parábola que interpola os pon- e . Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos e ou utilizandose e . Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, e (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
1


0

(B)

0

0

©


(D)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente montar uma matriz de transformação linear que pega os valores de uma função nos pontos dados e estima as derivadas nesses mesmos pontos. A gente vai usar conceitos de derivação numérica e transformações lineares para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender as fórmulas que estimam as derivadas nos pontos extremos e nos pontos interiores da malha de pontos fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos da malha no intervalo . Temos:
E os valores da função nesses pontos são .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas estimadas e nos pontos extremos usando a fórmula da inclinação da reta secante:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas estimadas e nos pontos interiores usando a fórmula mais complexa fornecida:
Onde:
Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos agora calcular e substituindo os valores na fórmula:
Para :
Substituindo os valores:
Simplificando:
Para :
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos expressar as derivadas em termos de :

Passo 7

Com isso, podemos montar a matriz de transformação que relaciona a :

Resposta

A matriz de transformação linear é:

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Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
a)
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
c) em .
Sejam e , d,
c) Nostre que .
Considere o subespaço definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei