Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
e)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um conjunto de matrizes 2x2 com entradas inteiras, onde a segunda linha é sempre zero. O objetivo aqui é descobrir se esse conjunto é um subanel e/ou um ideal do anel das matrizes 2x2 com entradas inteiras, que vamos chamar de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subanéis e ideais dentro de um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto que é não vazio e que é fechado sob as operações de adição e multiplicação definidas em . Isso significa que se você pegar dois elementos de e somar ou multiplicar, o resultado ainda estará em .
No nosso caso, e é o conjunto de matrizes da forma:
onde .

Passo 3

Vamos verificar se é um subanel de :
  1. Não vazio: Claramente, a matriz nula está em (quando e ), então não é vazio.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer em :
O resultado também está em , já que e são inteiros.
  1. Fechado sob multiplicação: Multiplicando duas matrizes em :
O resultado também está em , pois e são inteiros.
Como passou por todos os critérios, é um subanel de .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é um ideal de . Para ser um ideal, além de ser um subanel, precisa satisfazer que, para toda matriz e toda matriz , tanto quanto estão em .
Vamos testar isso:
  1. Multiplicação à esquerda: Tomemos e . A multiplicação resulta em:
Para que esteja em , a segunda linha precisa ser zero:
Note que a segunda linha será zero somente se e para todos . Isso só acontece se , mas pode ser qualquer inteiro (já que é qualquer matriz em ). Portanto, nem sempre está em .
  1. Multiplicação à direita: Já vimos na parte de subanel que está sempre em se e .
Como a multiplicação à esquerda nem sempre resulta em uma matriz em , não satisfaz todos os critérios para ser um ideal de .

Resposta

O conjunto dado é um subanel de , mas não é um ideal desse anel.

Exercícios relacionados

Considere o subespaço definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Sejam e , d,
c) Nostre que .
Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e . O modelo matemático para esta dependência é , onde os parâmetros e dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de para diferentes configurações de e e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
-3 1 -35.4
-2 4 -0.4
-1 1 5.5
0 3 16.1
1 -5 -19.4
2 -1 -18.4
3 -2 -46.9
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros e de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de previsto pelo modelo ajustado para . Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -287.0
(B) -286.0
© -285.0
(D) -284.0
(E) -283.0
(F) -282.0
(G) -281.0
(H) -280.0
(I) Não sei
Podemos usar qualquer um dos pontos de uma reta para escrever sua equação vetorial? E qualquer vetor diretor? Se sim, qual a influência dessas escolhas sobre o parâmetro?