Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
e) |lla & b 0 & 0| ; a, b in Z em(M2 times 2(Z),+, cdot)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um conjunto de matrizes 2x2 com entradas inteiras, onde a segunda linha é sempre zero. O objetivo aqui é descobrir se esse conjunto é um subanel e/ou um ideal do anel das matrizes 2x2 com entradas inteiras, que vamos chamar de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subanéis e ideais dentro de um anel.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel a & b 0 & 0 é um subconjunto que é não vazio e que é fechado sob as operações de adição e multiplicação definidas em . Isso significa que se você pegar dois elementos de e somar ou multiplicar, o resultado ainda estará em .
No nosso caso, e é o conjunto de matrizes da forma:
onde .

Passo 3

Vamos verificar se a1 & b1 0 & 0 + a2 & b2 0 & 0 = a1 + a2 & b1 + b2 0 & 0 é um subanel de a1 & b1 0 & 0 cdot a2 & b2 0 & 0 = a1 a2 & a1 b2 + b1 cdot 0 0 & 0 = a1 a2 & a1 b2 0 & 0 :
  1. Não vazio: Claramente, a matriz nula está em (quando e ), então não é vazio.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer em :
O resultado também está em , já que e são inteiros.
  1. Fechado sob multiplicação: Multiplicando duas matrizes em :
O resultado também está em , pois e são inteiros.
Como passou por todos os critérios, é um subanel de .

Passo 4

Agora, vamos verificar se c & d e & f cdot a & b 0 & 0 = c a & c b e a & e b é um ideal de c a & c b e a & e b . Para ser um ideal, além de ser um subanel, precisa satisfazer que, para toda matriz e toda matriz , tanto quanto estão em .
Vamos testar isso:
  1. Multiplicação à esquerda: Tomemos e . A multiplicação resulta em:
Para que esteja em , a segunda linha precisa ser zero:
Note que a segunda linha será zero somente se e para todos . Isso só acontece se , mas pode ser qualquer inteiro (já que é qualquer matriz em ). Portanto, nem sempre está em .
  1. Multiplicação à direita: Já vimos na parte de subanel que está sempre em se e .
Como a multiplicação à esquerda nem sempre resulta em uma matriz em , não satisfaz todos os critérios para ser um ideal de .

Resposta

O conjunto dado é um subanel de , mas não é um ideal desse anel.

Exercícios relacionados