Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem um conjunto de matrizes 2x2 com entradas inteiras, onde a segunda linha é sempre zero. O objetivo aqui é descobrir se esse conjunto é um subanel e/ou um ideal do anel das matrizes 2x2 com entradas inteiras, que vamos chamar de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subanéis e ideais dentro de um anel.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto que é não vazio e que é fechado sob as operações de adição e multiplicação definidas em . Isso significa que se você pegar dois elementos de e somar ou multiplicar, o resultado ainda estará em .
No nosso caso, e é o conjunto de matrizes da forma:
onde .
Passo 3
Vamos verificar se é um subanel de :
Não vazio: Claramente, a matriz nula está em (quando e ), então não é vazio.
Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes quaisquer em :
O resultado também está em , já que e são inteiros.
Fechado sob multiplicação: Multiplicando duas matrizes em :
O resultado também está em , pois e são inteiros.
Como passou por todos os critérios, é um subanel de .
Passo 4
Agora, vamos verificar se é um ideal de . Para ser um ideal, além de ser um subanel, precisa satisfazer que, para toda matriz e toda matriz , tanto quanto estão em .
Vamos testar isso:
Multiplicação à esquerda: Tomemos e . A multiplicação resulta em:
Para que esteja em , a segunda linha precisa ser zero:
Note que a segunda linha será zero somente se e para todos . Isso só acontece se , mas pode ser qualquer inteiro (já que é qualquer matriz em ). Portanto, nem sempre está em .
Multiplicação à direita: Já vimos na parte de subanel que está sempre em se e .
Como a multiplicação à esquerda nem sempre resulta em uma matriz em , não satisfaz todos os critérios para ser um ideal de .
Resposta
O conjunto dado é um subanel de , mas não é um ideal desse anel.