Sejam e , d,
c) Nostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados e . A parte c) pede para provar que a soma desses dois conjuntos, , é igual a . Aqui, representa o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa somar dois conjuntos de matrizes e mostrar que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como a soma de uma matriz de e outra de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois conjuntos de matrizes. significa que pegamos qualquer matriz de e somamos com qualquer matriz de . Então, se uma matriz está em , ela pode ser escrita como , onde e .

Passo 3

Vamos considerar uma matriz genérica em , que tem a forma:
Nosso objetivo é mostrar que podemos encontrar e tal que .

Passo 4

Vamos definir e da seguinte forma:
Aqui, está em porque suas entradas abaixo da diagonal são zero, e está em porque suas entradas acima da diagonal são zero.

Passo 5

Agora, somando e :
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como a soma de uma matriz de e outra de .

Resposta

Portanto, , ou seja, a soma dos conjuntos e abrange todas as matrizes 2x2 com entradas reais.

Exercícios relacionados

Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
  • para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em da parábola que interpola os pon- e . Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos e ou utilizandose e . Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, e (peso maior para o ponto mais próximo).
(A)
1


0

(B)

0

0

©


(D)
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
a)
Considere o subespaço definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de (complemento ortogonal de )?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Quais dos seguintes conjuntos são subanéis e / ou ideais dos anéis indicados.
e)