Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados e . A parte c) pede para provar que a soma desses dois conjuntos, , é igual a . Aqui, representa o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa somar dois conjuntos de matrizes e mostrar que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como a soma de uma matriz de e outra de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois conjuntos de matrizes. significa que pegamos qualquer matriz de e somamos com qualquer matriz de . Então, se uma matriz está em , ela pode ser escrita como , onde e .
Passo 3
Vamos considerar uma matriz genérica em , que tem a forma:
Nosso objetivo é mostrar que podemos encontrar e tal que .
Passo 4
Vamos definir e da seguinte forma:
Aqui, está em porque suas entradas abaixo da diagonal são zero, e está em porque suas entradas acima da diagonal são zero.
Passo 5
Agora, somando e :
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como a soma de uma matriz de e outra de .
Resposta
Portanto, , ou seja, a soma dos conjuntos e abrange todas as matrizes 2x2 com entradas reais.