Sejam W1=[lla & b 0 & 0], a, b in R e W2=[ll0 & 0 c & d], d, c in R]
c) Nostre que W1+We=N(2,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados e . A parte c) pede para provar que a soma desses dois conjuntos, , é igual a . Aqui, representa o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa somar dois conjuntos de matrizes e mostrar que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como a soma de uma matriz de e outra de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois conjuntos de matrizes. significa que pegamos qualquer matriz de e somamos com qualquer matriz de . Então, se uma matriz está em , ela pode ser escrita como , onde e .

Passo 3

Vamos considerar uma matriz genérica em A = x & y z & w , que tem a forma:
Nosso objetivo é mostrar que podemos encontrar e tal que .

Passo 4

Vamos definir A1 = x & y 0 & 0 e A2 = 0 & 0 z & w e da seguinte forma:
Aqui, está em porque suas entradas abaixo da diagonal são zero, e está em porque suas entradas acima da diagonal são zero.

Passo 5

Agora, somando A1 + A2 = x & y 0 & 0 + 0 & 0 z & w = x & y z & w = A e :
Isso mostra que qualquer matriz em pode ser escrita como a soma de uma matriz de e outra de .

Resposta

Portanto, , ou seja, a soma dos conjuntos e abrange todas as matrizes 2x2 com entradas reais.

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