Sejam
e
, d,
c) Nostre que
.
c) Nostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois conjuntos de matrizes 2x2, chamados
e
. A parte c) pede para provar que a soma desses dois conjuntos,
, é igual a
. Aqui,
representa o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa somar dois conjuntos de matrizes e mostrar que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como a soma de uma matriz de
e outra de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois conjuntos de matrizes.
significa que pegamos qualquer matriz de
e somamos com qualquer matriz de
. Então, se uma matriz
está em
, ela pode ser escrita como
, onde
e
.
Passo 3
Vamos considerar uma matriz genérica em
, que tem a forma:
Nosso objetivo é mostrar que podemos encontrar
e
tal que
.
Passo 4
Vamos definir
e
da seguinte forma:
Aqui,
está em
porque suas entradas abaixo da diagonal são zero, e
está em
porque suas entradas acima da diagonal são zero.
Passo 5
Agora, somando
e
:
Isso mostra que qualquer matriz
em
pode ser escrita como a soma de uma matriz de
e outra de
.
Resposta
Portanto,
, ou seja, a soma dos conjuntos
e
abrange todas as matrizes 2x2 com entradas reais.