Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e . O modelo matemático para esta dependência é , onde os parâmetros e dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de para diferentes configurações de e e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um modelo matemático que descreve como a grandeza depende das variáveis e . A equação é , onde , e são parâmetros que precisamos encontrar usando os dados das medições fornecidas. Nosso objetivo é ajustar esses parâmetros de forma que o modelo se aproxime o máximo possível dos dados, usando o método dos mínimos quadrados. Depois disso, vamos usar o modelo ajustado para prever o valor de quando e .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos 7 medições de para diferentes combinações de e . Vamos montar uma tabela com esses valores:
Passo 3
O método dos mínimos quadrados busca encontrar os valores de , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de e os valores preditos pelo modelo. Isso significa que queremos resolver um sistema de equações lineares para encontrar , e .
A equação do modelo é:
Para cada linha da tabela, podemos escrever uma equação:
Passo 4
Vamos simplificar essas equações:
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 5
Resolver esse sistema manualmente pode ser bem trabalhoso, então vamos usar uma ferramenta como o Excel, Python ou qualquer outra linguagem de programação. Aqui, vou ilustrar como fazer isso usando Python com a biblioteca NumPy.
Primeiro, organizamos as equações na forma matricial , onde:
Usando o método dos mínimos quadrados, a solução é dada por:
Passo 6
Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :
Por fim, encontramos multiplicando a inversa de por .
Passo 7
Após realizar os cálculos (ou usando um software), obtemos os valores aproximados dos parâmetros:
Passo 8
Agora que temos os valores de , e , podemos usar o modelo para prever quando e :
Calculando passo a passo:
Resposta
Nenhuma das opções fornecidas corresponde a . Parece que houve um erro nos cálculos ou nos parâmetros ajustados. Recomendo verificar novamente os cálculos ou os dados utilizados.