Considere o subespaço onde ; e para responder aos itens abaixo.
c) A dimensão de é
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a dimensão do subespaço gerado pelos vetores e . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e dimensão. Para resolver, vamos verificar quantos desses vetores são linearmente independentes, ou seja, quantos realmente contribuem para a formação do subespaço sem serem combinações dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os vetores que geram :
Agora, temos os vetores:
Passo 3
Para determinar a dimensão de , precisamos verificar a independência linear desses vetores. Se um vetor puder ser escrito como combinação linear dos outros, ele não adiciona “nova direção” ao subespaço. Vamos montar uma matriz com esses vetores como linhas e reduzir para a forma escalonada para identificar pivôs (elementos não nulos que indicam vetores independentes).
Montamos a matriz:
Passo 4
Vamos realizar operações de linha para reduzir a matriz:
Após a redução, observamos que há dois pivôs (nas primeiras duas colunas). Isso significa que os dois primeiros vetores são linearmente independentes, e os outros dois vetores podem ser escritos como combinações desses dois. Portanto, a dimensão de é igual ao número de vetores independentes, que é 2.