Uma hipérbole em relação ao sistema
(figura 3) tem equação
. Determine, em relação ao sistema
c) a sua equação;
c) a sua equação;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma hipérbole que está desenhada em um sistema de coordenadas novo, chamado de
. A equação dessa hipérbole é:
Nosso objetivo é descobrir qual é a equação dessa mesma hipérbole no sistema de coordenadas original, que é o
. Para isso, vamos precisar entender como transformar coordenadas de um sistema para o outro, especialmente quando há uma rotação e uma translação envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de transformação está acontecendo entre o sistema
e o sistema
. Parece que o sistema
foi obtido a partir do sistema
através de uma rotação e talvez uma translação.
Vamos assumir que há uma rotação de
graus entre os dois sistemas. Para passar de
para
, usamos as seguintes relações de rotação:
Precisamos descobrir o valor de
que está sendo usado nessa transformação.
Passo 3
Observando a equação final que queremos obter:
Podemos notar que os coeficientes de
e
estão relacionados a
, o que sugere que a hipérbole foi rotacionada em um ângulo de
ou
, já que
.
Vamos assumir que a rotação foi de
. Então,
.
Passo 4
Usando
, temos:
Agora, substituímos essas relações na transformação de coordenadas:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação original da hipérbole:
Substituindo:
Vamos simplificar isso:
Multiplicando o numerador e denominador: