Uma hipérbole em relação ao sistema x^prime O y^prime (figura 3) tem equação (x^prime-2)^24-y^prime4=1. Determine, em relação ao sistema x O y:
c) a sua equação;
(raiz3 x+y-4)^216-(raiz3 y-x)^216=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma hipérbole que está desenhada em um sistema de coordenadas novo, chamado de (x' - 2)^24 - y'^24 = 1 . A equação dessa hipérbole é:
Nosso objetivo é descobrir qual é a equação dessa mesma hipérbole no sistema de coordenadas original, que é o . Para isso, vamos precisar entender como transformar coordenadas de um sistema para o outro, especialmente quando há uma rotação e uma translação envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de transformação está acontecendo entre o sistema x' = x costheta + y sintheta e o sistema y' = -x sintheta + y costheta . Parece que o sistema foi obtido a partir do sistema através de uma rotação e talvez uma translação.
Vamos assumir que há uma rotação de graus entre os dois sistemas. Para passar de para , usamos as seguintes relações de rotação:
Precisamos descobrir o valor de que está sendo usado nessa transformação.

Passo 3

Observando a equação final que queremos obter:
(raiz3x + y - 4)^216 - (raiz3y - x)^216 = 1
Podemos notar que os coeficientes de e estão relacionados a , o que sugere que a hipérbole foi rotacionada em um ângulo de ou , já que .
Vamos assumir que a rotação foi de . Então, .

Passo 4

Usando cos(30^circ) = raiz32 , temos:
sin(30^circ) = 12
x' = x cdot raiz32 + y cdot 12
Agora, substituímos essas relações na transformação de coordenadas:
y' = -x cdot 12 + y cdot raiz32

Passo 5

Agora, substituímos (x' - 2)^24 - y'^24 = 1 e (raiz32x + 12y - 2)^24 - (-12x + raiz32y)^24 = 1 na equação original da hipérbole:
(raiz3x + y - 4)^216 - (raiz3y - x)^216 = 1
Substituindo:
Vamos simplificar isso:
Multiplicando o numerador e denominador:

Resposta

(raiz3, x + y - 4)^216 - (raiz3, y - x)^216 = 1

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