Seja um operador linear. Prove que se e somente se Im(T) subseteq N(T).
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear . Precisamos provar que (ou seja, aplicar o operador duas vezes resulta no operador nulo) se e somente se a imagem de () está contida no núcleo de ().
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares, imagem, núcleo e propriedades de composição de operadores.
O que vamos precisar: Definições de imagem e núcleo de um operador linear, definição de operador nulo, e entender a composição de operadores.
Passo 2
Definições básicas:
Imagem (): Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Formalmente, .
Núcleo (): Conjunto de todos os vetores que são enviados ao vetor nulo pelo operador . Ou seja, .
Operador nulo (): Operador que envia todo vetor de para o vetor nulo.
Passo 3
Vamos provar a implicação direta: Se , então .
Isso significa que, se ao aplicar duas vezes sempre resulta no vetor nulo, então toda imagem de está no núcleo de .
Passo 4
Prova da implicação direta:
Tome qualquer vetor na imagem de . Então, existe algum tal que .
Aplicando novamente: .
Sabemos que , então .
Portanto, , o que significa que está no núcleo de .
Assim, todo está em , ou seja, .
Passo 5
Agora, vamos provar a implicação inversa: Se , então .
Isso quer dizer que, se toda imagem de está no núcleo de , então aplicar duas vezes resulta no operador nulo.
Passo 6
Prova da implicação inversa:
Tome qualquer vetor .
Aplique uma vez: . Como está na imagem de , e , então .
Isso significa que .
Como isso vale para qualquer , temos que envia todo vetor para o nulo, ou seja, .