Seja T: V V um operador linear. Prove que T^2=0 se e somente se Im(T) subseteq N(T).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear . Precisamos provar que (ou seja, aplicar o operador duas vezes resulta no operador nulo) se e somente se a imagem de ( ) está contida no núcleo de ( ).
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente sobre operadores lineares, imagem, núcleo e propriedades de composição de operadores.
O que vamos precisar: Definições de imagem e núcleo de um operador linear, definição de operador nulo, e entender a composição de operadores.

Passo 2

Definições básicas:
  • Imagem ( ): Conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Formalmente, .
  • Núcleo ( ): Conjunto de todos os vetores que são enviados ao vetor nulo pelo operador . Ou seja, .
  • Operador nulo ( ): Operador que envia todo vetor de para o vetor nulo.

Passo 3

Vamos provar a implicação direta: Se , então .
Isso significa que, se ao aplicar duas vezes sempre resulta no vetor nulo, então toda imagem de está no núcleo de .

Passo 4

Prova da implicação direta:
  1. Tome qualquer vetor na imagem de . Então, existe algum tal que .
  2. Aplicando novamente: .
  3. Sabemos que , então .
  4. Portanto, , o que significa que está no núcleo de .
  5. Assim, todo está em , ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos provar a implicação inversa: Se , então .
Isso quer dizer que, se toda imagem de está no núcleo de , então aplicar duas vezes resulta no operador nulo.

Passo 6

Prova da implicação inversa:
  1. Tome qualquer vetor .
  2. Aplique uma vez: . Como está na imagem de , e , então .
  3. Isso significa que .
  4. Como isso vale para qualquer , temos que envia todo vetor para o nulo, ou seja, .

Resposta

Portanto, mostramos que se e somente se .

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