Dada T: R^4 R^3 em que T(x, y, z, t)=(x+y+z+2 t, x-y+2 z, 4 x+2 y+5 z+6 t), determine um vetor v in R^3 tal que v notin Im(T) e com isso exiba um sistema linear de três equações com quatro incógnitas sem solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. O problema diz que temos uma transformação linear definida por . A pergunta é: encontrar um vetor em que não pertence à imagem de (ou seja, ), e com isso, exibir um sistema de três equações com quatro incógnitas que não tem solução.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem da transformação . A imagem de é o conjunto de todos os vetores em que a transformação pode alcançar quando aplicamos a todos os vetores possíveis de .
Matematicamente, a imagem de é o espaço gerado pelas colunas da matriz que representa . Vamos montar essa matriz.

Passo 3

A matriz de A = 1 & 1 & 1 & 2 1 & -1 & 2 & 0 4 & 2 & 5 & 6 é formada pelas imagens dos vetores padrão de . Ou seja:
Cada coluna de representa , onde são os vetores padrão de .

Passo 4

Para encontrar um vetor x y z t que não está na imagem de , precisamos achar um vetor que não pode ser escrito como uma combinação linear das colunas de . Basicamente, queremos que o sistema não tenha solução.
Uma forma de fazer isso é calcular o posto (rank) da matriz e verificar se existe um vetor em que não está no espaço gerado pelas colunas de .

Passo 5

Vamos calcular o posto da matriz A = 1 & 1 & 1 & 2 1 & -1 & 2 & 0 4 & 2 & 5 & 6 . Para isso, vamos aplicar a eliminação de Gauss:
1 & 1 & 1 & 2 0 & -2 & 1 & -2 0 & -2 & 1 & -2
  • Subtraímos a primeira linha da segunda e terceira:
1 & 1 & 1 & 2 0 & -2 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0
  • Agora, vemos que as segunda e terceira linhas são iguais. Podemos zerar a terceira linha:
O posto da matriz é 2, pois temos duas linhas não nulas após a eliminação.

Passo 6

Como o posto de é 2, a imagem de é um subespaço de dimensão 2 em . Isso significa que existem vetores em que não estão na imagem de .
Para encontrar tal vetor, podemos escolher um vetor que não seja uma combinação linear das duas colunas que formam a base da imagem. Observando as colunas, percebemos que elas não conseguem gerar todos os vetores em .
Vamos escolher, por exemplo, .

Passo 7

Agora, vamos verificar se x + y + z + 2t = 0 x - y + 2z = 0 4x + 2y + 5z + 6t = 1 não está na imagem de . Isso significa que o sistema:
não tem solução.
Vamos tentar resolver esse sistema.

Resposta

Um vetor que não pertence à imagem de x + y + z + 2t = 0 x - y + 2z = 0 4x + 2y + 5z + 6t = 1 é . O sistema associado que não tem solução é:

Exercícios relacionados