Sejam P, Q, R, S: R^2 R^2 operadores lineares dados por P(x, y)=(x, 0), Q(x, y)=(-y, x), R(x, y)=(0, y) e S(x, y)=(y,-x). Determine o operador P circ Q circ R circ S.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar o operador composto . Aqui estamos trabalhando com operadores lineares no espaço . Para isso, vamos precisar entender como esses operadores agem sobre os vetores e como compô-los passo a passo usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada operador individualmente e representá-los em forma de matriz.
  • P = 1 & 0 0 & 0 : Esse operador pega um vetor Q = 0 & -1 1 & 0 e zera a segunda coordenada. A matriz correspondente é:
    R = 0 & 0 0 & 1
  • S = 0 & 1 -1 & 0 : Esse operador realiza uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário. A matriz é:
  • : Esse operador zera a primeira coordenada. A matriz é:
  • : Esse operador realiza uma rotação de 90 graus no sentido horário. A matriz é:

Passo 3

Agora, vamos compor os operadores na ordem R cdot S = 0 & 0 0 & 1 cdot 0 & 1 -1 & 0 = (0)(0) + (0)(-1) & (0)(1) + (0)(0) (0)(0) + (1)(-1) & (0)(1) + (1)(0) = 0 & 0 -1 & 0 . Isso significa que vamos multiplicar as matrizes na ordem inversa: primeiro , depois , depois e por último .
Primeiro, multiplicamos e :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos o resultado com Q cdot (R cdot S) = 0 & -1 1 & 0 cdot 0 & 0 -1 & 0 = (0)(0) + (-1)(-1) & (0)(0) + (-1)(0) (1)(0) + (0)(-1) & (1)(0) + (0)(0) = 1 & 0 0 & 0 :

Passo 5

Por último, multiplicamos o resultado com P cdot (Q cdot R cdot S) = 1 & 0 0 & 0 cdot 1 & 0 0 & 0 = (1)(1) + (0)(0) & (1)(0) + (0)(0) (0)(1) + (0)(0) & (0)(0) + (0)(0) = 1 & 0 0 & 0 :

Resposta

O operador composto 1 & 0 0 & 0 é representado pela matriz:
Isso significa que, ao aplicar esse operador a qualquer vetor , o resultado será .

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