Sejam
operadores lineares dados por
,
e
. Determine o operador
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar o operador composto
. Aqui estamos trabalhando com operadores lineares no espaço
. Para isso, vamos precisar entender como esses operadores agem sobre os vetores e como compô-los passo a passo usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada operador individualmente e representá-los em forma de matriz.
-
: Esse operador pega um vetor e zera a segunda coordenada. A matriz correspondente é: -
: Esse operador realiza uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário. A matriz é: -
: Esse operador zera a primeira coordenada. A matriz é: -
: Esse operador realiza uma rotação de 90 graus no sentido horário. A matriz é:
Passo 3
Agora, vamos compor os operadores na ordem
. Isso significa que vamos multiplicar as matrizes na ordem inversa: primeiro
, depois
, depois
e por último
.
Primeiro, multiplicamos
e
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos o resultado com
:
Passo 5
Por último, multiplicamos o resultado com
:
Resposta
O operador composto
é representado pela matriz:
Isso significa que, ao aplicar esse operador a qualquer vetor
, o resultado será
.