Decida se os conjuntos abaixo são LI ou LD:
(2,3,-1),(5,2,1),(3,7,2) subset R^3

Passo 1

Vamos analisar o problema que você trouxe! A gente precisa decidir se o conjunto de vetores (2,3,-1), (5,2,1), (3,7,2) em R^3 é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD) usando conceitos de Álgebra Linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa esses termos e como aplicá-los na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser Linearmente Independente ou Dependente. Um conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Caso contrário, é Linearmente Dependente (LD), ou seja, pelo menos um vetor pode ser expresso como uma combinação linear dos demais.

Passo 3

Para verificar a independência ou dependência dos vetores, podemos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Se for igual a zero, eles são LD. Vamos fazer isso.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores dados:
A = 2 & 5 & 3 3 & 2 & 7 -1 & 1 & 2

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 2(2 cdot 2 - 7 cdot 1) - 5(3 cdot 2 - 7 cdot (-1)) + 3(3 cdot 1 - 2 cdot (-1))

Passo 6

Vamos resolver as multiplicações e subtrações dentro dos parênteses:
det(A) = 2(4 - 7) - 5(6 + 7) + 3(3 + 2)
det(A) = 2(-3) - 5(13) + 3(5)

Passo 7

Agora, multiplicamos e somamos os resultados:
det(A) = -6 - 65 + 15
det(A) = -56

Resposta

Como o determinante é -56, que é diferente de zero, o conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI).

Exercícios relacionados