Considere o subespaço de gerado pelos vetores e .
? Por quê?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para verificar se os vetores geram todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais e independência linear. Basicamente, queremos ver se conseguimos combinar esses vetores de forma que qualquer vetor em possa ser formado.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e ver o número de pivôs (colunas que têm um valor principal, diferente de zero). O número de pivôs nos dirá a dimensão do espaço gerado pelos vetores.

Passo 4

Primeiro, olhamos para a primeira coluna. O primeiro elemento já é 1, ótimo! Vamos usar ele para zerar os elementos abaixo:
  • Linha 2:
  • Linha 3: Já está 0.
  • Linha 4: Já está 0.
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. O primeiro elemento não é zero na linha 3. Vamos trocar a linha 2 com a linha 3 para facilitar:

Passo 6

Vamos usar o pivô da segunda coluna (que é 1 na linha 2) para zerar os elementos abaixo:
  • Linha 4:
A matriz após essa operação:

Passo 7

Observamos que temos 3 pivôs (nas colunas 1, 2 e 4). Como temos 4 colunas originais e apenas 3 pivôs, isso significa que os vetores são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 8

Para gerar todo o espaço , precisamos que os vetores sejam linearmente independentes e que o número de vetores seja igual à dimensão do espaço (que é 4). Como aqui temos apenas 3 pivôs, não atingimos a dimensão necessária.

Resposta

Não, os vetores não geram todo o espaço porque são linearmente dependentes e só geram um subespaço de dimensão 3.

Exercícios relacionados

Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
d) Se ou não é invertível, então também não é.
Seja um espaço vetorial e seja . Mostre que:
  • para todo , com 0 elemento neutro de .
  • Se , então ou ou , onde e 0 elemento neutro de
Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
g) Se é uma matriz diagonal, então .
Sejam e matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
b) Se e são matrizes triangular superiores, então e também são.