Considere o subespaço de gerado pelos vetores e . ? Por quê?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos pede para verificar se os vetores geram todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais e independência linear. Basicamente, queremos ver se conseguimos combinar esses vetores de forma que qualquer vetor em possa ser formado.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações de eliminação de Gauss para reduzir essa matriz e ver o número de pivôs (colunas que têm um valor principal, diferente de zero). O número de pivôs nos dirá a dimensão do espaço gerado pelos vetores.
Passo 4
Primeiro, olhamos para a primeira coluna. O primeiro elemento já é 1, ótimo! Vamos usar ele para zerar os elementos abaixo:
Linha 2:
Linha 3: Já está 0.
Linha 4: Já está 0.
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. O primeiro elemento não é zero na linha 3. Vamos trocar a linha 2 com a linha 3 para facilitar:
Passo 6
Vamos usar o pivô da segunda coluna (que é 1 na linha 2) para zerar os elementos abaixo:
Linha 4:
A matriz após essa operação:
Passo 7
Observamos que temos 3 pivôs (nas colunas 1, 2 e 4). Como temos 4 colunas originais e apenas 3 pivôs, isso significa que os vetores são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 8
Para gerar todo o espaço , precisamos que os vetores sejam linearmente independentes e que o número de vetores seja igual à dimensão do espaço (que é 4). Como aqui temos apenas 3 pivôs, não atingimos a dimensão necessária.
Resposta
Não, os vetores não geram todo o espaço porque são linearmente dependentes e só geram um subespaço de dimensão 3.