Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
d) Se
ou
não é invertível, então
também não é.
d) Se
Passo 1
Então, a gente tem duas matrizes quadradas,
e
, de ordem
. A pergunta é verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se
ou
não é invertível, então
também não é invertível.” Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes invertíveis e propriedades de multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, sabemos que se duas matrizes
e
são invertíveis, então o produto
também é invertível, e a inversa de
é dada por
. Isso mostra que a invertibilidade de
depende da invertibilidade de ambas as matrizes
e
.
Passo 4
Vamos analisar a afirmação dada: “Se
ou
não é invertível, então
também não é invertível.” Se uma das matrizes, digamos
, não é invertível, isso significa que não existe
. Sem a inversa de
, n��o conseguimos formar
para obter a inversa de
. Portanto,
não pode ser invertível se pelo menos uma das matrizes
ou
não for invertível.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
ou
não for invertível, então o produto
também não é invertível.