Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
d) Se ou não é invertível, então também não é.

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes quadradas, e , de ordem . A pergunta é verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: “Se ou não é invertível, então também não é invertível.” Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes invertíveis e propriedades de multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, sabemos que se duas matrizes e são invertíveis, então o produto também é invertível, e a inversa de é dada por . Isso mostra que a invertibilidade de depende da invertibilidade de ambas as matrizes e .

Passo 4

Vamos analisar a afirmação dada: “Se ou não é invertível, então também não é invertível.” Se uma das matrizes, digamos , não é invertível, isso significa que não existe . Sem a inversa de , n��o conseguimos formar para obter a inversa de . Portanto, não pode ser invertível se pelo menos uma das matrizes ou não for invertível.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se ou não for invertível, então o produto também não é invertível.

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial e seja . Mostre que:
  • para todo , com 0 elemento neutro de .
  • Se , então ou ou , onde e 0 elemento neutro de
Escalone as matrizes abaixo e determine seus respectivos postos.
b) .
Considere o subespaço de gerado pelos vetores e .
? Por quê?
Sejam e matrizes quadradas de ordem . Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
g) Se é uma matriz diagonal, então .