Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
b) Se
e
são matrizes triangular superiores, então
e
também são.
b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, dado que
e
são matrizes quadradas e triangulares superiores, então a soma
e o produto
também serão matrizes triangulares superiores. Estamos falando de álgebra linear, mais especificamente sobre propriedades de matrizes triangulares. Para resolver, vamos analisar cada parte separadamente e ver se realmente funciona dessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para uma matriz
, se
para todo
, então
é triangular superior.
Passo 3
Vamos verificar se a soma
também é triangular superior. Como
e
são triangulares superiores, sabemos que todos os elementos abaixo da diagonal principal em
e em
são zero. Quando somamos
e
, os elementos abaixo da diagonal também serão a soma de zero com zero, ou seja, ainda serão zero. Portanto,
mantém essa estrutura, sendo uma matriz triangular superior.
Passo 4
Agora, vamos analisar o produto
. Multiplicar duas matrizes triangulares superiores resulta em uma matriz onde os elementos abaixo da diagonal também serão zero. Isso acontece porque, na multiplicação de matriciais, cada elemento
é a soma de produtos
. Se
e
são triangulares superiores, para
, todos esses produtos serão zero, já que pelo menos um dos termos será zero. Assim,
também será triangular superior.
Resposta
Tanto
quanto
são matrizes triangulares superiores quando
e
são matrizes triangulares superiores. Portanto, a afirmação é verdadeira.