Sejam e matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique suas respostas.
b) Se e são matrizes triangular superiores, então e também são.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, dado que e são matrizes quadradas e triangulares superiores, então a soma e o produto também serão matrizes triangulares superiores. Estamos falando de álgebra linear, mais especificamente sobre propriedades de matrizes triangulares. Para resolver, vamos analisar cada parte separadamente e ver se realmente funciona dessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para uma matriz , se para todo , então é triangular superior.
Passo 3
Vamos verificar se a soma também é triangular superior. Como e são triangulares superiores, sabemos que todos os elementos abaixo da diagonal principal em e em são zero. Quando somamos e , os elementos abaixo da diagonal também serão a soma de zero com zero, ou seja, ainda serão zero. Portanto, mantém essa estrutura, sendo uma matriz triangular superior.
Passo 4
Agora, vamos analisar o produto . Multiplicar duas matrizes triangulares superiores resulta em uma matriz onde os elementos abaixo da diagonal também serão zero. Isso acontece porque, na multiplicação de matriciais, cada elemento é a soma de produtos . Se e são triangulares superiores, para , todos esses produtos serão zero, já que pelo menos um dos termos será zero. Assim, também será triangular superior.
Resposta
Tanto quanto são matrizes triangulares superiores quando e são matrizes triangulares superiores. Portanto, a afirmação é verdadeira.